摘要：
拉普拉斯方程的球坐标系解法 \[\begin{cases} \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\part 阅读全文
摘要：
勒让德多项式的正交性 对于不同项的勒让德多项式： \[\begin{cases} (1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)+n(n+1)P_n(x) \equiv 0, \quad (1)\\ (1-x^2)P_m''(x)-2xP_m'(x)+m(m+1)P_m(x) \equiv 0, 阅读全文
摘要：
勒让德方程 \[\begin{cases} (1-x^2)\frac{d^2y(x)}{dx^2}-2x\frac{dy(x)}{dx}+l(l+1)y(x)=0, \quad -1 \leq x \leq 1 \\ |y(x)| < \infty, \quad -1 \leq x \leq 1 \ 阅读全文
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拉普拉斯方程的球坐标系解法 \[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\ 阅读全文
摘要：
施图姆-刘维尔本征值问题的概念 \[\begin{cases} \frac{d}{dx}\left[k(x)\frac{dy(x)}{dx}\right] - q(x)y(x) + \lambda \rho(x) y(x) = 0, \quad a < x < b \\ \text{适当的边界条件} 阅读全文
摘要：
二阶非齐次常微分方程 $$u''(z) + p(z)u'(z) + q(z)u(z) = f(z)$$ 假设以上方程对应的齐次方程的线性独立的解为 \(u_1(z)\)，\(u_2(z)\) \(\begin{cases} u_1''(z) + p(z)u_1'(z) + q(z)u_1(z) = 阅读全文
摘要：
ν-阶贝塞尔方程 \[z^2u''(z) + zu'(z) + (z^2 - \nu^2)u(z) = 0, \quad \nu \neq \frac{m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} \]\[p(z) = \frac{1}{z}, \quad q(z) = 1 - \fr 阅读全文
摘要：
对于 \[\frac{d^2u(z)}{dz^2} + p(z)\frac{du(z)}{dz} + q(z)u(z) = 0 \]\(z_0\) — 方程的正则奇点 进行洛朗级数展开：\(p(z) = \sum_{m=-1}^{\infty} p_m(z - z_0)^m, \quad q(z) 阅读全文
摘要：
在 z = 0 为中心的区域上求解勒让德方程 \[(1 - z^2)u''(z) - 2zu'(z) + l(l + 1)u(z) = 0 \]化为标准形式 \(u''(z) - \frac{2z}{1 - z^2}u'(z) + \frac{l(l+1)}{1 - z^2}u(z) = 0\) \ 阅读全文
摘要：
二阶线性齐次常微分方程的标准形式 \[\frac{d^2u(z)}{dz^2} + p(z)\frac{du(z)}{dz} + q(z)u(z) = 0 \] 方程的正常点：\(p(z)\) 和 \(q(z)\) 在该点及其邻域内解析 方程的孤立奇点：该点为 \(p(z)\) 和 \(q(z)\) 阅读全文