补充章 平面图形的几何性质

合集 - 材料力学 同济大学课件 笔记(6)

1.第5章 梁的内力2024-11-192.第6章 梁的应力2024-11-193.第7章 弯曲变形2024-11-184.第8章 应力状态分析 强度理论2024-12-02

5.补充章 平面图形的几何性质2024-12-03

6.第9章 组合变形2024-12-08

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§A.1静矩和形心

※定义

图形对x和y轴的静矩

1. 静矩关于 (x) 和 (y) 轴的定义：

   $$S_y={\int }_{A}xdA,S_x={\int }_{A}ydA$$

2. 形心公式：

   $$\overline{x}=\frac{S_y}{A},\overline{y}=\frac{S_x}{A}$$

※特性

1.静矩的量纲：[l长度]³

2.静矩的值可为正、负、或零

3.一个图形的静矩随轴的位置变化. 因此，静矩应明确指出对哪一轴

4.图形对过形心的轴的静矩为零；若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心

5.图形对其对称轴的静矩为零，所以形心一定在对称轴上.

6.轴心对称图形对通过对称轴心0的任意轴的静矩为零，即0为图形的形心

7.图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处

※组合图形的静矩和形心

1. 静矩公式：

   $$S_x=\sum A_i{\overline{y}}_i,S_y=\sum A_i{\overline{x}}_i$$

2. 形心公式：

   $$\overline{X}=\frac{\sum A_i{\overline{x}}_i}{\sum A_i},\overline{Y}=\frac{\sum A_i{\overline{y}}_i}{\sum A_i}$$

§A.2惯性矩和惯性积

定义

1. 惯性矩：
   图形 (A) 对 (x) 轴和 (y) 轴的惯性矩定义为：

   $$I_x={\int }_A{y}^{2}dA,I_y={\int }_A{x}^{2}dA$$

2. 极惯性矩：
   图形 (A) 对点 (O) 的极惯性矩定义为：

   $$I_p={\int }_A{\rho }^{2}dA$$

3. 惯性半径：

   $$I_x=r_x^{2}A,I_y=r_y^{2}A$$
   $$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}$$

4. 惯性积：

   $$I_{xy}={\int }_{A}xydA$$

※特性

$1.\mathrm{惯}\mathrm{性}\mathrm{矩}、\mathrm{惯}\mathrm{性}\mathrm{积}\mathrm{和}\mathrm{极}\mathrm{惯}\mathrm{性}\mathrm{矩}。\mathrm{和}{I}_p\mathrm{的}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{是}[\mathrm{长}\mathrm{度}{]}^4$

$2.I_x,I_y,\mathrm{和}{I}_p\mathrm{恒}\mathrm{为}\mathrm{正}\mathrm{值}；I_{x}y\mathrm{可}\mathrm{正}、\mathrm{负}\mathrm{或}\mathrm{零}$

$3.I_x,I_y,\mathrm{和}{I}_p\mathrm{有}\mathrm{如}\mathrm{下}\mathrm{关}\mathrm{系}：$

$$I_p=I_x+I_y$$

$4.I_x,I_{x}y\mathrm{和}{I}_y\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{轴}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{的}，\mathrm{而}Ip\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{点}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{的}$

$5.\mathrm{若}x\mathrm{和}y\mathrm{轴}\mathrm{中}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{条}\mathrm{是}\mathrm{图}\mathrm{形}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}，\mathrm{则}\mathrm{惯}\mathrm{性}\mathrm{积}{I}_{x}y\mathrm{为}\mathrm{零}$

§A.3平行移轴公式

平行移轴公式

1. 若轴 (x) 和 (y) 分别平行于形心轴 $x_c\mathrm{和}{y}_c$，则：
   $$I_x=I_{x^{\prime }}+a^{2}A,I_y=I_{y^{\prime }}+b^{2}A,I_{xy}=I_{x^{\prime }{y}^{\prime }}+abA$$

注意：$x_c\mathrm{和}{y}_c$ 必须通过图形的形心。

组合图形的惯性矩和惯性积

1. 组合图形的 (x) 轴惯性矩：

   $$I_x=I_x^{A_1}+I_x^{A_2}+I_x^{A_3}=\sum I_x^{A_i}$$

2. 组合图形的 (y) 轴惯性矩：

   $$I_y=\sum I_y^{A_i}$$

3. 组合图形的惯性积：

   $$I_{xy}=\sum I_{xy}^{A_i}$$

§A.4转轴公式

1. 转轴惯性矩公式：

   $$I_{x_1}=\frac{I_y+I_x}{2}+\frac{I_y-I_x}{2}\cos 2\alpha -I_{xy}\sin 2\alpha$$
   $$I_{y_1}=\frac{I_y+I_x}{2}-\frac{I_y-I_x}{2}\cos 2\alpha +I_{xy}\sin 2\alpha$$
   $$I_{x_1{y}_1}=\frac{I_x-I_y}{2}\sin 2\alpha +I_{xy}\cos 2\alpha$$

2. 特性关系：

   $$I_{x_1}+I_{y_1}=I_x+I_y$$

3. 极值角度的求解：

$${\frac{d{I}_{x_1}}{d\alpha }|}_{\alpha ={\alpha }_0}=-2\cdot \frac{I_x-I_y}{2}\sin 2{\alpha }_0-2I_{xy}\cos 2{\alpha }_0=0$$

化简得：

$$\tan 2{\alpha }_0=\frac{-2I_{xy}}{I_x-I_y}$$

4.极值惯性矩：

$$I_{x_0{y}_0}=0$$

最大值和最小值为：

$$I_{\text{max/min}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)}^2+I_{xy}^2}$$

※概念

主惯性轴(主轴)Principal axes

如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的主惯性轴。

主惯性矩(主矩)Principal moments of inertia

图形对主轴的惯性矩Ix0、Iy0称为主惯性矩，主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值

形心主惯性矩轴Centroidal principal axes

如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯性轴(形心主轴)

形心主惯性矩Centroidal principal moments of inertia

图形对形心主轴的惯性矩。

※求截面形心主惯性矩的基本步骤
1)、建立坐标系。
2)、求形心位置。
3)、建立形心坐标系；并求：Iye,Ic,Ixyc,
4)、确定形心主轴位置——α₀:
5)、求形心主惯性矩