补充章 平面图形的几何性质

§A.1静矩和形心

※定义

图形对x和y轴的静矩

1. 静矩关于 (x) 和 (y) 轴的定义：

   \[S_y = \int_A x \, dA, \quad S_x = \int_A y \, dA \]

2. 形心公式：

   \[\bar{x} = \frac{S_y}{A}, \quad \bar{y} = \frac{S_x}{A} \]

※特性

1.静矩的量纲：[l长度]³

2.静矩的值可为正、负、或零

3.一个图形的静矩随轴的位置变化. 因此，静矩应明确指出对哪一轴

4.图形对过形心的轴的静矩为零；若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心

5.图形对其对称轴的静矩为零，所以形心一定在对称轴上.

6.轴心对称图形对通过对称轴心0的任意轴的静矩为零，即0为图形的形心

7.图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处

※组合图形的静矩和形心

1. 静矩公式：

   \[S_x = \sum A_i \bar{y}_i, \quad S_y = \sum A_i \bar{x}_i \]

2. 形心公式：

   \[\bar{X} = \frac{\sum A_i \bar{x}_i}{\sum A_i}, \quad \bar{Y} = \frac{\sum A_i \bar{y}_i}{\sum A_i} \]

§A.2惯性矩和惯性积

定义

1. 惯性矩：
   图形 (A) 对 (x) 轴和 (y) 轴的惯性矩定义为：

   \[I_x = \int_A y^2 \, dA, \quad I_y = \int_A x^2 \, dA \]

2. 极惯性矩：
   图形 (A) 对点 (O) 的极惯性矩定义为：

   \[I_p = \int_A \rho^2 \, dA \]

3. 惯性半径：

   \[I_x = r_x^2 A, \quad I_y = r_y^2 A \]
   \[r_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}}, \quad r_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} \]

4. 惯性积：

   \[I_{xy} = \int_A xy \, dA \]

※特性

\(1.惯性矩、惯性积和极惯性矩。和I_p的单位是[长度]^4\)

\(2.I_x,I_y,和I_p恒为正值；I_xy可正、负或零\)

\(3.I_x,I_y,和I_p有如下关系：\)

\[ I_p = I_x + I_y \]

\(4.I_x,I_xy和I_y是对轴定义的，而Ip是对点定义的\)

\(5.若x和y轴中有一条是图形的对称轴，则惯性积I_xy为零\)

§A.3平行移轴公式

平行移轴公式

1. 若轴 (x) 和 (y) 分别平行于形心轴 \(x_c 和 y_c\)，则：
   \[I_x = I_{x'} + a^2 A, \quad I_y = I_{y'} + b^2 A, \quad I_{xy} = I_{x'y'} + abA \]

注意：\(x_c 和 y_c\) 必须通过图形的形心。

组合图形的惯性矩和惯性积

1. 组合图形的 (x) 轴惯性矩：

   \[I_x = I_x^{A_1} + I_x^{A_2} + I_x^{A_3} = \sum I_x^{A_i} \]

2. 组合图形的 (y) 轴惯性矩：

   \[I_y = \sum I_y^{A_i} \]

3. 组合图形的惯性积：

   \[I_{xy} = \sum I_{xy}^{A_i} \]

§A.4转轴公式

1. 转轴惯性矩公式：

   \[I_{x_1} = \frac{I_y + I_x}{2} + \frac{I_y - I_x}{2} \cos 2\alpha - I_{xy} \sin 2\alpha \]
   \[I_{y_1} = \frac{I_y + I_x}{2} - \frac{I_y - I_x}{2} \cos 2\alpha + I_{xy} \sin 2\alpha \]
   \[I_{x_1y_1} = \frac{I_x - I_y}{2} \sin 2\alpha + I_{xy} \cos 2\alpha \]

2. 特性关系：

   \[I_{x_1} + I_{y_1} = I_x + I_y \]

3. 极值角度的求解：

\[ \left.\frac{dI_{x_1}}{d\alpha}\right|_{\alpha = \alpha_0} = -2 \cdot \frac{I_x - I_y}{2} \sin 2\alpha_0 - 2I_{xy} \cos 2\alpha_0 = 0 \]

化简得：

\[\tan 2\alpha_0 = \frac{-2I_{xy}}{I_x - I_y} \]

4.极值惯性矩：

\[I_{x_0y_0} = 0 \]

最大值和最小值为：

\[I_{\text{max/min}} = \frac{I_x + I_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2} \]

※概念

主惯性轴(主轴)Principal axes

如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的主惯性轴。

主惯性矩(主矩)Principal moments of inertia

图形对主轴的惯性矩Ix0、Iy0称为主惯性矩，主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值

形心主惯性矩轴Centroidal principal axes

如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯性轴(形心主轴)

形心主惯性矩Centroidal principal moments of inertia

图形对形心主轴的惯性矩。

※求截面形心主惯性矩的基本步骤
1)、建立坐标系。
2)、求形心位置。
3)、建立形心坐标系；并求：Iye,Ic,Ixyc,
4)、确定形心主轴位置——α₀:
5)、求形心主惯性矩