第五章 大数定律和中心极限定律

合集 - 概率论与数理统计 同济大学数学科学学院课件 笔记(2)

1.第四章 随机向量2024-11-16

2.第五章 大数定律和中心极限定律2024-11-18

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5.2 中心极限定理

定义和基础概念

定义 5.2（按分布收敛）

设随机变量序列 $X_n$ 和随机变量 $X$ 的分布函数分别为 $F_n(x)$ 和 $F(x)$。如果对 $F(x)$ 的任一连续点 $x$，都有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_n(x)=F(x)$$

则称随机变量序列 $\{X_n\}$ 按分布收敛于随机变量 $X$，记为 $X_n\stackrel{d}{\to }X$。

特别地，当 $X\sim N(0,1)$ 时，可记为 $X_n\stackrel{d}{\to }N(0,1)$。

中心极限定理

定理 5.6（林德伯格-莱维中心极限定理）

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 是独立同分布的随机变量序列，且 $E(X_1)=\mu$, $D(X_1)={\sigma }^2$。记

$$Y_n=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}$$

则对任意实数 $x$，有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(Y_n\le x)=\mathrm{\Phi }(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

定理 5.7 （棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 服从0-1分布，$P(X_1=1)=p,P(X_1=0)=1-p$，则对任意实数 $x$，有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x)=\mathrm{\Phi }(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$