第五章 大数定律和中心极限定律
5.2 中心极限定理
定义和基础概念
定义 5.2（按分布收敛）
设随机变量序列 \(X_n\) 和随机变量 \(X\) 的分布函数分别为 \(F_n(x)\) 和 \(F(x)\)。如果对 \(F(x)\) 的任一连续点 \(x\)，都有
\[\lim_{n \to \infty} F_n(x) = F(x)
\]
则称随机变量序列 \(\{X_n\}\) 按分布收敛于随机变量 \(X\)，记为 \(X_n \xrightarrow{d} X\)。
特别地，当 \(X \sim N(0,1)\) 时，可记为 \(X_n \xrightarrow{d} N(0,1)\)。
中心极限定理
定理 5.6（林德伯格-莱维中心极限定理）
设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots\) 是独立同分布的随机变量序列，且 \(E(X_1) = \mu\), \(D(X_1) = \sigma^2\)。记
\[Y_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}
\]
则对任意实数 \(x\)，有
\[\lim_{n \to \infty} P(Y_n \leq x) = \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt
\]
定理 5.7 （棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）
设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots\) 服从0-1分布，\(P(X_1 = 1) = p, P(X_1 = 0) = 1-p\)，则对任意实数 \(x\)，有
\[\lim_{n \to \infty} P(\frac{\sum_{i=1}^n X_i - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq x) = \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt
\]
