5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解

合集 - 数学物理方程 姜颖版 笔记(11)

1.3.4施图姆-刘维尔本征值问题2024-11-142.4.1 线性齐次常微分方程解的相关性2024-11-133.4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法2024-11-144.4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解2024-11-145.4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法2024-11-146.4.5贝塞尔方程求解2024-11-147.4.6二阶非齐次常微分方程的求解2024-11-148.5.1.1球坐标系下的拉普拉斯方程分离变数法求解2024-11-149.5.1.2勒让德多项式2024-11-1410.5.1.3 勒让德多项式的正交性及相应的广义傅里叶级数2024-11-14

11.5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解2024-11-14

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拉普拉斯方程的球坐标系解法

$$\{\begin{array}{ll}\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta })=0,& a_1<r<a_2,0\le \theta \le \pi \\ \text{内外边界条件}{f}_1(\theta ),f_2(\theta )\end{array}$$

分离变量：

$$\{\begin{array}{ll}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR(r)}{dr}\right)-l(l+1)R(r)=0& ⟹R_l(r)=A_l{r}^l+B_l\frac{1}{r^{l+1}}\\ \frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d\mathrm{\Theta }(\theta )}{d\theta })+l(l+1)\mathrm{\Theta }(\theta )=0\end{array}$$

$l=0,1,2,\cdots ,{\mathrm{\Theta }}_l(\theta )\sim P_l(\cos \theta )$

通解

$$u(r,\theta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_l(r)P_l(\cos \theta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}[A_l{r}^l+B_l\frac{1}{r^{l+1}}]P_l(\cos \theta )$$

通过边界条件确定待定系数

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以下为例题，主要演示在极轴对称性下运用边界条件对勒让德多项式中的系数进行确认

例：一个半径为a的球状材料，球内没有热源热汇，其表面温度始终保持 $u{|}_{r=a}={\sin }^2\theta +2\cos \theta$，求球体内稳定的温度分布。

$$\{\begin{array}{ll}\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta })=0,& r<a,0\le \theta \le \pi \\ u{|}_{r=a}={\sin }^2\theta +2\cos \theta \end{array}$$

通解 $u(r,\theta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_l(r)P_l(\cos \theta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}[A_l{r}^l+B_l\frac{1}{r^{l+1}}]P_l(\cos \theta )$

自然边条件 $|u{|}_{r=0}<\mathrm{\infty }⟹B_l=0$

$$u(r,\theta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_l(r)P_l(\cos \theta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_l{r}^l{P}_l(\cos \theta )$$

代入边界条件：

$$u(a,\theta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_l{a}^l{P}_l={\sin }^2\theta +2\cos \theta$$

根据结果对各阶勒让德多项式的可能性进行推测：
$\begin{array}{rl}{P}_0(\cos \theta )& =1,P_1(\cos \theta )=\cos \theta ,\\ P_2(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(2-3{\sin }^2\theta )\end{array}$

$\begin{array}{rl}u(a,\theta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_l{a}^l{P}_l& =-\frac{2}{3}[\frac{1}{2}(2-3{\sin }^2\theta )]+2\cos \theta +\frac{2}{3}\\ & =-\frac{2}{3}{P}_2+2P_1+\frac{2}{3}{P}_0\end{array}$

待定系数法可得
$A_2=-\frac{2}{3a^2},A_1=\frac{2}{a},A_0=\frac{2}{3},A_l=0(l\ge 3)$

则最终结果为
$\begin{array}{rl}u(r,\theta )& =-\frac{2r^2}{3a^2}{P}_2(\cos \theta )+2\frac{r}{a}{P}_1(\cos \theta )+\frac{2}{3}{P}_0\\ & =\frac{r^2}{a^2}{\sin }^2\theta +2\frac{r}{a}\cos \theta -\frac{2r^2}{3a^2}+\frac{2}{3}\end{array}$