5.1.2勒让德多项式

合集 - 数学物理方程 姜颖版 笔记(11)

1.3.4施图姆-刘维尔本征值问题2024-11-142.4.1 线性齐次常微分方程解的相关性2024-11-133.4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法2024-11-144.4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解2024-11-145.4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法2024-11-146.4.5贝塞尔方程求解2024-11-147.4.6二阶非齐次常微分方程的求解2024-11-148.5.1.1球坐标系下的拉普拉斯方程分离变数法求解2024-11-14

9.5.1.2勒让德多项式2024-11-14

10.5.1.3 勒让德多项式的正交性及相应的广义傅里叶级数2024-11-1411.5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解2024-11-14

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勒让德方程

$$\{\begin{array}{l}(1-x^2)\frac{d^{2}y(x)}{d{x}^2}-2x\frac{dy(x)}{dx}+l(l+1)y(x)=0,-1\le x\le 1\\ |y(x)|<\mathrm{\infty },-1\le x\le 1\end{array}$$

$$y(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n{a}_{k+2}=\frac{(k-l)(k+l+1)}{(k+1)(k+2)}{a}_k$$

$$y(x)=a_0{y}_0(x)+a_1{y}_1(x)\text{收敛半径}R=1$$

如何使 $y(x)$ 在边界处也满足收敛性条件？$⟶$ 将其自然地截断为多项式！

对 $l$ 的取值作出限制并适当选取待定系数：

$l$ 为偶数 $a_{l+2}=0y_0(x)$ 自然地截断为多项式 $y(x)$ 截断为最高幂次为 $l$ 次的多项式
$\mathrm{使}{a}_1=0$ 去掉依然发散的 $y_1(x)$ $$

$l$ 为奇数 $a_{l+2}=0y_1(x)$ 自然地截断为多项式 $y(x)$ 截断为最高幂次为 $l$ 次的多项式
$\mathrm{使}{a}_0=0$ 去掉依然发散的 $y_0(x)$ $$

令 $a_l=\frac{(2l)!}{2^l(l!{)}^2}$ 则

$$y(x)⟶P_l(x)=\sum _{k=0}^N\frac{(-1{)}^k(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-2k)!}{x}^{l-2k}l\text{-阶勒让德多项式}$$

$N=\{\begin{array}{ll}\frac{l}{2},& l\text{ is even}\\ \frac{l-1}{2},& l\text{ is odd}\end{array}$

---

其本质上为解刘维尔本征值问题

$$\{\begin{array}{l}(1-x^2)\frac{d^{2}y(x)}{d{x}^2}-2x\frac{dy(x)}{dx}+l(l+1)y(x)=0,-1\le x\le 1\\ |y(x)|<\mathrm{\infty },-1\le x\le 1\end{array}$$

本征值 $l=0,1,2,\cdots ,$ 本征函数 $y_l(x)=P_l(x)$

常用低阶勒让德多项式

$P_0(x)=1,P_1(x)=x,$

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x),$

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3),$

$x\equiv \cos \theta$

$P_0(\cos \theta )=1,P_1(\cos \theta )=\cos \theta ,$

$P_2(\cos \theta )=\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)=\frac{1}{2}(2-3{\sin }^2\theta )=\frac{1}{4}(3\cos 2\theta +1),$

$P_3(\cos \theta )=\frac{1}{2}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )=\frac{1}{8}(5\cos 3\theta +3\cos \theta ),\cdots$