3.4施图姆-刘维尔本征值问题

合集 - 数学物理方程 姜颖版 笔记(11)

1.3.4施图姆-刘维尔本征值问题2024-11-14

2.4.1 线性齐次常微分方程解的相关性2024-11-133.4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法2024-11-144.4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解2024-11-145.4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法2024-11-146.4.5贝塞尔方程求解2024-11-147.4.6二阶非齐次常微分方程的求解2024-11-148.5.1.1球坐标系下的拉普拉斯方程分离变数法求解2024-11-149.5.1.2勒让德多项式2024-11-1410.5.1.3 勒让德多项式的正交性及相应的广义傅里叶级数2024-11-1411.5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解2024-11-14

收起

施图姆-刘维尔本征值问题的概念

$$\{\begin{array}{l}\frac{d}{dx}[k(x)\frac{dy(x)}{dx}]-q(x)y(x)+\lambda \rho (x)y(x)=0,a<x<b\\ \text{适当的边界条件}\end{array}$$

共同构成了施图姆-刘维尔型方程

$\rho (x)$ — 权函数

$\{{\lambda }_i,i=1,2,\cdots \}$ — 本征值
$\{y_i(x),i=1,2,\cdots \}$ — 本征函数

• 如在某端点处（如 $a$ 端）有 $\underset{x\to a}{lim}k(x)\ne 0$，则方程在此端须满足齐次边条件 $(\alpha y^{\prime }+\beta y){|}_{x=a}=0$ 才能构成本征值问题。
• 如在某端点处（如 $a$ 端）有 $\underset{x\to a}{lim}k(x)=0$，则方程在此端须考虑函数的有限性等自然边界条件才能构成本征值问题。
• 如在两个端点处有 $k(a)=k(b)$，且 $k(x)$、$q(x)$ 和 $\rho (x)$ 均以 $(a,b)$ 为周期区间，则方程与周期性自然边界条件就可以构成本征值问题。

本征函数族的正交性与广义傅里叶级数

$$\frac{d}{dx}[k(x)\frac{d{y}_m(x)}{dx}]-q(x)y_m(x)+{\lambda }_m\rho (x)y_m(x)=0\times y_n^{\ast }(x)$$

$${(\frac{d}{dx}[k(x)\frac{d{y}_n(x)}{dx}]-q(x)y_n(x)+{\lambda }_n\rho (x)y_n(x)=0)}^{\ast }\times y_m(x)$$

$${\int }_a^b\{y_n^{\ast }\frac{d}{dx}\left[k\frac{d{y}_m}{dx}\right]-y_m\frac{d}{dx}\left[k\frac{d{y}_n^{\ast }}{dx}\right]\}+({\lambda }_m-{\lambda }_n){\int }_a^b\rho y_n^{\ast }{y}_{m}dx=0$$

$$[k{y}_n^{\ast }{y}_m^{\prime }-k{y}_m{y}_n^{{\ast }^{\prime }}{]}_{x=b}-[k{y}_n^{\ast }{y}_m^{\prime }-k{y}_m{y}_n^{{\ast }^{\prime }}{]}_{x=a}+({\lambda }_m-{\lambda }_n){\int }_a^b\rho y_n^{\ast }{y}_{m}dx=0$$

周期边条件 $[k{y}_n^{\ast }{y}_m^{\prime }-k{y}_m{y}_n^{{\ast }^{\prime }}{]}_{x=b}-[k{y}_n^{\ast }{y}_m^{\prime }-k{y}_m{y}_n^{{\ast }^{\prime }}{]}_{x=a}\equiv 0$

自然边条件 $[k{y}_n^{\ast }{y}_m^{\prime }-k{y}_m{y}_n^{{\ast }^{\prime }}{]}_{x=a,b}\equiv 0$

齐次边条件 $[\alpha y+\beta y^{\prime }{]}_{x=a,b}=0$

$$[k{y}_n^{\ast }{y}_m^{\prime }-k{y}_m{y}_n^{{\ast }^{\prime }}{]}_{x=b}=\frac{1}{\beta }[k{y}_n^{\ast }{\beta }^{\prime }{y}_m-k{y}_m\beta y_n^{{\ast }^{\prime }}{]}_{x=b}$$

$$=\frac{1}{\beta }[k{y}_n^{\ast }(\alpha y_m+\beta y_m^{\prime })-k{y}_m(\alpha y_n^{\ast }+\beta y_n^{{\ast }^{\prime }})+k\alpha y_n^{\ast }{y}_m{]}_{x=b}\equiv 0$$

$$({\lambda }_m-{\lambda }_n){\int }_a^b\rho y_n^{\ast }{y}_{m}dx\equiv 0⟶{\int }_a^b\rho (x)y_n^{\ast }(x)y_m(x)dx\equiv 0,m\ne n$$

本征函数在该区间上满足带权正交关系

本征函数族 $\{y_i(x),i=1,2,\cdots \}$ 构成了区间 $(a,b)$ 上的正交完备的函数基底

广义傅里叶级数展开

$$f(x)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{y}_n(x),a<x<b$$

$$c_n=\frac{{\int }_a^{b}f(x)y_n^{\ast }(x)\rho (x)dx}{{\int }_a^b\rho (x)|y_n(x){|}^{2}dx}$$