3.4施图姆-刘维尔本征值问题
施图姆-刘维尔本征值问题的概念
\[\begin{cases}
\frac{d}{dx}\left[k(x)\frac{dy(x)}{dx}\right] - q(x)y(x) + \lambda \rho(x) y(x) = 0, \quad a < x < b \\
\text{适当的边界条件}
\end{cases}\]
共同构成了施图姆-刘维尔型方程
\(\rho(x)\) — 权函数
\(\{\lambda_i, i = 1, 2, \cdots \}\) — 本征值
\(\{y_i(x), i = 1, 2, \cdots \}\) — 本征函数
- 如在某端点处（如 \(a\) 端）有 \(\lim_{x \to a} k(x) \neq 0\)，则方程在此端须满足齐次边条件 \((\alpha y' + \beta y)|_{x=a} = 0\) 才能构成本征值问题。
- 如在某端点处（如 \(a\) 端）有 \(\lim_{x \to a} k(x) = 0\)，则方程在此端须考虑函数的有限性等自然边界条件才能构成本征值问题。
- 如在两个端点处有 \(k(a) = k(b)\)，且 \(k(x)\)、\(q(x)\) 和 \(\rho(x)\) 均以 \((a,b)\) 为周期区间，则方程与周期性自然边界条件就可以构成本征值问题。
本征函数族的正交性与广义傅里叶级数
\[\frac{d}{dx}\left[k(x)\frac{dy_m(x)}{dx}\right] - q(x)y_m(x) + \lambda_m\rho(x)y_m(x)=0 \quad \times y_n^*(x)
\]
\[\left(\frac{d}{dx}\left[k(x)\frac{dy_n(x)}{dx}\right] - q(x)y_n(x) + \lambda_n\rho(x)y_n(x)=0\right)^* \quad \times y_m(x)
\]
\[\int_a^b \left\{y_n^*\frac{d}{dx}\left[k\frac{dy_m}{dx}\right] - y_m\frac{d}{dx}\left[k\frac{dy_n^*}{dx}\right]\right\} + (\lambda_m - \lambda_n) \int_a^b \rho y_n^*y_m dx = 0
\]
\[[ky_n^*y_m' - ky_my^{*'}_n]_{x=b} - [ky_n^*y_m' - ky_my^{*'}_n]_{x=a} + (\lambda_m - \lambda_n) \int_a^b \rho y_n^*y_m dx = 0
\]
周期边条件 \([ky_n^*y_m' - ky_my^{*'}_n]_{x=b} - [ky_n^*y_m' - ky_my^{*'}_n]_{x=a} \equiv 0\)
自然边条件 \([ky_n^*y_m' - ky_my^{*'}_n]_{x=a,b} \equiv 0\)
齐次边条件 \([\alpha y + \beta y']_{x=a,b} = 0\)
\[[ky_n^*y_m' - ky_my^{*'}_n]_{x=b} = \frac{1}{\beta}[ky_n^*\beta'y_m - ky_m\beta y^{*'}_n]_{x=b}
\]
\[= \frac{1}{\beta}[ky_n^*(\alpha y_m + \beta y_m') - ky_m(\alpha y_n^* + \beta y^{*'}_n) + k\alpha y_n^*y_m]_{x=b} \equiv 0
\]
\[(\lambda_m - \lambda_n) \int_a^b \rho y_n^*y_m dx \equiv 0 \longrightarrow \int_a^b \rho(x)y_n^*(x)y_m(x)dx \equiv 0, \quad m \neq n
\]
本征函数在该区间上满足带权正交关系
本征函数族 \(\{y_i(x), i = 1, 2, \cdots \}\) 构成了区间 \((a,b)\) 上的正交完备的函数基底
广义傅里叶级数展开
\[f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} c_n y_n(x), \quad a < x < b
\]
\[c_n = \frac{\int_a^b f(x)y_n^*(x)\rho(x)dx}{\int_a^b \rho(x)|y_n(x)|^2dx}
\]
