4.5贝塞尔方程求解

合集 - 数学物理方程 姜颖版 笔记(11)

1.3.4施图姆-刘维尔本征值问题2024-11-142.4.1 线性齐次常微分方程解的相关性2024-11-133.4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法2024-11-144.4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解2024-11-145.4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法2024-11-14

6.4.5贝塞尔方程求解2024-11-14

7.4.6二阶非齐次常微分方程的求解2024-11-148.5.1.1球坐标系下的拉普拉斯方程分离变数法求解2024-11-149.5.1.2勒让德多项式2024-11-1410.5.1.3 勒让德多项式的正交性及相应的广义傅里叶级数2024-11-1411.5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解2024-11-14

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ν-阶贝塞尔方程

$$z^2{u}^{″}(z)+z{u}^{\prime }(z)+(z^2-{\nu }^2)u(z)=0,\nu \ne \frac{m}{2},m\in \mathbb{Z}$$

$$p(z)=\frac{1}{z},q(z)=1-\frac{{\nu }^2}{z^2}$$

$x_0=0$ — 方程的正则奇点

设 $u(z)$ 展开的最低次幂为 $s$ 次 $u(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-x_0{)}^{s+k}$ 代入方程

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s+k)(s+k-1)a_k{z}^{s+k}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s+k)a_k{z}^{s+k}+(z^2-{\nu }^2)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^{s+k}=0$$

指标方程 — $s(s-1)+s-{\nu }^2=0$ $\to s_1=\nu s_2=-\nu$

$$u_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-x_0{)}^{\nu +k}{u}_2(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k(z-x_0{)}^{-\nu +k}$$

$s=\nu$

$$[(k+\nu )(k+\nu -1)+(k+\nu )-{\nu }^2]a_k+a_{k-2}=0$$

$$a_k=-\frac{1}{k(k+2\nu )}{a}_{k-2}$$

$$[(\nu +1{)}^2-{\nu }^2]a_1=0\to a_1=0$$

$$u_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n}{z}^{\nu +2n}$$

收敛半径 — $R^2=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{k-2}}{a_k}=\mathrm{\infty }$

令 $a_0=\frac{1}{2^{\nu }\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}\to u_1(z)\equiv J_{\nu }(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!\mathrm{\Gamma }(n+\nu +1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2n+\nu }$

上式称为ν-阶贝塞尔函数

$s=-\nu$，同理

$$u_2(z)\equiv J_{-\nu }(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!\mathrm{\Gamma }(n-\nu +1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2n-\nu }$$

上式称为(-ν)-阶贝塞尔函数

ν-阶诺伊曼函数（由上述贝塞尔函数的一种比较好用而特殊的线性组合）

$$N_{\nu }(z)\equiv \cot \nu \pi J_{\nu }(z)-\csc \nu \pi J_{-\nu }(z)$$