4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法

合集 - 数学物理方程 姜颖版 笔记(11)

1.3.4施图姆-刘维尔本征值问题2024-11-142.4.1 线性齐次常微分方程解的相关性2024-11-133.4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法2024-11-144.4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解2024-11-14

5.4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法2024-11-14

6.4.5贝塞尔方程求解2024-11-147.4.6二阶非齐次常微分方程的求解2024-11-148.5.1.1球坐标系下的拉普拉斯方程分离变数法求解2024-11-149.5.1.2勒让德多项式2024-11-1410.5.1.3 勒让德多项式的正交性及相应的广义傅里叶级数2024-11-1411.5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解2024-11-14

收起

对于

$$\frac{d^{2}u(z)}{d{z}^2}+p(z)\frac{du(z)}{dz}+q(z)u(z)=0$$

$z_0$ — 方程的正则奇点

进行洛朗级数展开：$p(z)=\sum _{m=-1}^{\mathrm{\infty }}{p}_m(z-z_0{)}^m,q(z)=\sum _{m=-2}^{\mathrm{\infty }}{q}_m(z-z_0{)}^m$

设 $u(z)$ 展开的最低次幂为 $s$ 次 $u(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^{s+k}$ 代入方程

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s+k)(s+k-1)a_k(z-z_0{)}^{s+k-2}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s+k)a_k(z-z_0{)}^{s+k-1}\sum _{m=-1}^{\mathrm{\infty }}{p}_m(z-z_0{)}^m$$

$$+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^{s+k}\sum _{m=-2}^{\mathrm{\infty }}{q}_m(z-z_0{)}^m=0$$

最低幂次项系数 $a_0[s(s-1)+s{p}_{-1}+q_{-2}]=0$

$a_0\ne 0$，指标方程 $s^2+(p_{-1}-1)s+q_{-2}=0$ $\to s_1\ge s_2$

取 $s=s_1$ $u_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^{s_1+k}$

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s_1+k)(s_1+k-1)a_k(z-z_0{)}^{s_1+k-2}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s_1+k)a_k(z-z_0{)}^{s_1+k-1}\sum _{m=-1}^{\mathrm{\infty }}{p}_m(z-z_0{)}^m$$

$$+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^{s_1+k}\sum _{m=-2}^{\mathrm{\infty }}{q}_m(z-z_0{)}^m=0$$

$(z-z_0{)}^{s_1-1}$ 项前面的系数

$a_1[s_1(s_1+1)+(s_1+1)p_{-1}+q_{-2}]+a_0[s_1{p}_0+q_{-1}]=0$

$$a_1=-\frac{s_1{p}_0+q_{-1}}{s_1(s_1+1)+(s_1+1)p_{-1}+q_{-2}}{a}_0$$

$(z-z_0{)}^{s_1}$ 项前面的系数

$a_2[(s_1+1)(s_1+2)+(s_1+2)p_{-1}+q_{-2}]+a_1[(s_1+1)p_0+q_{-1}]+a_0[s_1{p}_1+q_0]=0$

$$a_2=-\frac{(s_1+1)p_0+q_{-1}}{(s_1+1)(s_1+2)+(s_1+2)p_{-1}+q_{-2}}{a}_1-\frac{s_1{p}_1+q_0}{(s_1+1)(s_1+2)+(s_1+2)p_{-1}+q_{-2}}{a}_0$$

$$⋮$$

$$a_k=-\frac{(s_1+k-1)p_0+q_{-1}}{(s_1+k-1)(s_1+k)+(s_1+k)p_{-1}+q_{-2}}{a}_{k-1}-\cdots -\frac{s_1{p}_{k-1}+q_{k-2}}{(s_1+k-1)(s_1+k)+(s_1+k)p_{-1}+q_{-2}}{a}_0$$

$$u_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^{s_1+k}\text{— 第一类型解}$$

对于 $s=s_2$ $u_2(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k(z-z_0{)}^{s_2+k}$

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s_2+k)(s_2+k-1)a_k(z-z_0{)}^{s_2+k-2}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s_2+k)a_k(z-z_0{)}^{s_2+k-1}\sum _{m=-1}^{\mathrm{\infty }}{p}_m(z-z_0{)}^m$$

$$+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^{s_2+k}\sum _{m=-2}^{\mathrm{\infty }}{q}_m(z-z_0{)}^m=0$$

当 $s_1-s_2$ 不等于整数时，与前相同的分析过程必然可得

$$b_k=-\frac{(s_2+k-1)p_0+q_{-1}}{(s_2+k-1)(s_2+k)+(s_2+k)p_{-1}+q_{-2}}{b}_{k-1}-\cdots -\frac{s_2{p}_{k-1}+q_{k-2}}{(s_2+k-1)(s_2+k)+(s_2+k)p_{-1}+q_{-2}}{b}_0$$

当 $s_1-s_2=m$ 为整数时

（在$k=m$时）$(s_2+m-1)(s_2+m)+(s_2+m)p_{-1}+q_{-2}=(s_1-1)s_1+s_1{p}_{-1}+q_{-2}\equiv 0$

$b_m=?$

需要另一种方法，得到
第二类型解:

$$u_2(z)=A{u}_1(z)\ln (z-z_0)+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_k(z-z_0{)}^{s_2+k}$$