4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解

合集 - 数学物理方程 姜颖版 笔记(11)

1.3.4施图姆-刘维尔本征值问题2024-11-142.4.1 线性齐次常微分方程解的相关性2024-11-133.4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法2024-11-14

4.4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解2024-11-14

5.4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法2024-11-146.4.5贝塞尔方程求解2024-11-147.4.6二阶非齐次常微分方程的求解2024-11-148.5.1.1球坐标系下的拉普拉斯方程分离变数法求解2024-11-149.5.1.2勒让德多项式2024-11-1410.5.1.3 勒让德多项式的正交性及相应的广义傅里叶级数2024-11-1411.5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解2024-11-14

收起

在 z = 0 为中心的区域上求解勒让德方程

$$(1-z^2)u^{″}(z)-2z{u}^{\prime }(z)+l(l+1)u(z)=0$$

化为标准形式 $u^{″}(z)-\frac{2z}{1-z^2}{u}^{\prime }(z)+\frac{l(l+1)}{1-z^2}u(z)=0$

$$p(z)=-\frac{2z}{1-z^2},q(z)=\frac{l(l+1)}{1-z^2}$$

$z_0=0$ ———— 方程的正常点
$z_1=1,z_2=-1$ ——— 方程的孤立奇点
$|z|<1$ ———— 相应的解析圆域

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求解：

用$$u(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$$展开

可得到$$a_{k+2}=\frac{k(k+1)-l(l+1)}{(k+1)(k+2)}{a}_k=\frac{(k-l)(k+l+1)}{(k+1)(k+2)}{a}_k$$

$$u(z)=a_0{u}_0(z)+a_1{u}_1(z)$$

具体过程见附录

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附录：

$$u(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k\to (1-z^2)u^{″}(z)-2z{u}^{\prime }(z)+l(l+1)u(z)=0$$

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)a_k{z}^{k-2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)a_k{z}^k-2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{a}_k{z}^k+l(l+1)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k=0$$

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+1)(k+2)a_{k+2}{z}^k-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)a_k{z}^k-2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{a}_k{z}^k+l(l+1)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k=0$$

由各幂次项系数必为 0，最终就得到

$$a_{k+2}=\frac{k(k+1)-l(l+1)}{(k+1)(k+2)}{a}_k$$

化简使其更容易递推：$$=\frac{(k-l)(k+l+1)}{(k+1)(k+2)}{a}_k$$