4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法
二阶线性齐次常微分方程的标准形式
\[\frac{d^2u(z)}{dz^2} + p(z)\frac{du(z)}{dz} + q(z)u(z) = 0
\]
-
方程的正常点：\(p(z)\) 和 \(q(z)\) 在该点及其邻域内解析
-
方程的孤立奇点：该点为 \(p(z)\) 和 \(q(z)\) 的孤立奇点
-
方程的正则奇点：该奇点最多为 \(p(z)\) 的单极点及 \(q(z)\) 的二阶极点
\(p(z)\)和\(q(z)\)在圆域\(|z - z_0| \leq R\)内解析，
则方程的解在此圆域内可展为泰勒级数
\[u(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z - z_0)^k
\]
证明见附录
将上式代入原方程：
\[\sum_{k=0}^{\infty} k(k - 1)a_k(z - z_0)^{k-2} + \sum_{k=0}^{\infty} ka_k(z - z_0)^{k-1}\sum_{m=0}^{\infty} p_m(z - z_0)^m
\]
\[+ \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z - z_0)^k\sum_{m=0}^{\infty} q_m(z - z_0)^m = 0
\]
\[\sum_{k=0}^{\infty} (k + 1)(k + 2)a_{k+2}(z - z_0)^k + \sum_{k=0}^{\infty} (k + 1)a_{k+1}(z - z_0)^k\sum_{m=0}^{\infty} p_m(z - z_0)^m
\]
\[+ \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z - z_0)^k\sum_{m=0}^{\infty} q_m(z - z_0)^m = 0
\]
幂级数展开式系数递推关系：
\[2a_2 + p_0a_1 + q_0a_0 = 0
\]
\[6a_3 + 2p_0a_2 + a_1p_1 + q_0a_1 + q_1a_0 = 0
\]
\[\vdots
\]
4.2附录：
证：设 \(u(z)\) 展开的最低次幂为 \(s\) 次 \(u(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z - z_0)^{s+k}\) 代入方程
\[\sum_{k=0}^{\infty} (s+k)(s+k-1)a_k(z-z_0)^{s+k-2} + \sum_{k=0}^{\infty} (s+k)a_k(z-z_0)^{s+k-1} \sum_{m=0}^{\infty} p_m(z-z_0)^m
\]
\[+ \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z-z_0)^{s+k} \sum_{m=0}^{\infty} q_m(z-z_0)^m = 0
\]
各幂次项系数必为 0！
最低幂次项系数 \(s(s-1)a_0 = 0\)
\(a_0 \neq 0\)
指标方程 \(s(s-1) = 0\) \(\rightarrow s_1 = 0,\quad s_2 = 1\)
