4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法

合集 - 数学物理方程 姜颖版 笔记(11)

1.3.4施图姆-刘维尔本征值问题2024-11-142.4.1 线性齐次常微分方程解的相关性2024-11-13

3.4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法2024-11-14

4.4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解2024-11-145.4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法2024-11-146.4.5贝塞尔方程求解2024-11-147.4.6二阶非齐次常微分方程的求解2024-11-148.5.1.1球坐标系下的拉普拉斯方程分离变数法求解2024-11-149.5.1.2勒让德多项式2024-11-1410.5.1.3 勒让德多项式的正交性及相应的广义傅里叶级数2024-11-1411.5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解2024-11-14

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二阶线性齐次常微分方程的标准形式

$$\frac{d^{2}u(z)}{d{z}^2}+p(z)\frac{du(z)}{dz}+q(z)u(z)=0$$

• 方程的正常点：$p(z)$ 和 $q(z)$ 在该点及其邻域内解析

• 方程的孤立奇点：该点为 $p(z)$ 和 $q(z)$ 的孤立奇点

• 方程的正则奇点：该奇点最多为 $p(z)$ 的单极点及 $q(z)$ 的二阶极点

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$p(z)$和$q(z)$在圆域$|z-z_0|\le R$内解析，
则方程的解在此圆域内可展为泰勒级数

$$u(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^k$$

证明见附录

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将上式代入原方程：

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)a_k(z-z_0{)}^{k-2}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{a}_k(z-z_0{)}^{k-1}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_m(z-z_0{)}^m$$

$$+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^k\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_m(z-z_0{)}^m=0$$

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+1)(k+2)a_{k+2}(z-z_0{)}^k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+1)a_{k+1}(z-z_0{)}^k\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_m(z-z_0{)}^m$$

$$+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^k\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_m(z-z_0{)}^m=0$$

幂级数展开式系数递推关系：

$$2a_2+p_0{a}_1+q_0{a}_0=0$$

$$6a_3+2p_0{a}_2+a_1{p}_1+q_0{a}_1+q_1{a}_0=0$$

$$⋮$$

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4.2附录：
证：设 $u(z)$ 展开的最低次幂为 $s$ 次 $u(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^{s+k}$ 代入方程

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s+k)(s+k-1)a_k(z-z_0{)}^{s+k-2}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(s+k)a_k(z-z_0{)}^{s+k-1}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_m(z-z_0{)}^m$$

$$+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^{s+k}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_m(z-z_0{)}^m=0$$

各幂次项系数必为 0！

最低幂次项系数 $s(s-1)a_0=0$

$a_0\ne 0$

指标方程 $s(s-1)=0$ $\to s_1=0,s_2=1$

注：各幂次项系数必为 0是今后解该方程系数的常见用法。