4.1 线性齐次常微分方程解的相关性

合集 - 数学物理方程 姜颖版 笔记(11)

1.3.4施图姆-刘维尔本征值问题2024-11-14

2.4.1 线性齐次常微分方程解的相关性2024-11-13

3.4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法2024-11-144.4.3勒让德方程正常点附近邻域上的求解2024-11-145.4.4二阶齐次常微分方程在正则奇点附近邻域的级数解法2024-11-146.4.5贝塞尔方程求解2024-11-147.4.6二阶非齐次常微分方程的求解2024-11-148.5.1.1球坐标系下的拉普拉斯方程分离变数法求解2024-11-149.5.1.2勒让德多项式2024-11-1410.5.1.3 勒让德多项式的正交性及相应的广义傅里叶级数2024-11-1411.5.1.4具有极轴转动对称性的拉普拉斯问题求解2024-11-14

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如存在不全为零的数 $\{{\lambda }_i;i=1,2,3,\cdots ,n\}$, 使得对于任意可能的自变量 $z$, 以下式子均成立

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{\varphi }_i(z)=0$$

则该组函数是线性相关的。

${\lambda }_i$ 不全为零的条件是朗斯基行列式为零:

$$\left|\begin{array}{cccc}{\varphi }_1(z)& {\varphi }_2(z)& \cdots & {\varphi }_n(z)\\ {\varphi }_1^{\prime }(z)& {\varphi }_2^{\prime }(z)& \cdots & {\varphi }_n^{\prime }(z)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\varphi }_1^{(n-1)}(z)& {\varphi }_2^{(n-1)}(z)& \cdots & {\varphi }_n^{(n-1)}(z)\end{array}\right|=0$$

一组函数对应的上述朗斯基行列式不为零,则该组函数必线性无关。

二阶线性齐次常微分方程解的线性相关性:

二阶线性齐次常微分方程的任意三个解必线性相关

n-阶线性齐次常微分方程最多只有 n 个线性无关的解