插值模型初步
插值模型初步
0.概述
实际生活中，我们会使用各种各样的函数。对于y=exp(sinx)等难以计算、比较复杂的函数，我们希望找到一个近似的替代函数来方便计算y的粗略值。我们需要用一个比较简单的函数y=y(x)来近似代替数据,或近似代替函数y=f(x)，使得：
，
称y=y(x)为函数y=f(x)在点x0,x1,…,xn处的插值函数。
1.插值法的基本原理
常用的三角函数，我们通常建立三角函数表来近似计算。插值法的思路也与之类似。设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,
是[a,b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知
，即
。若存在一个f(x)的近似函数
满足：
则称：
- 为f(x)的一个插值函数
- f(x)为被插函数
- 点Xi为插值节点点。
2.插值模型
当数据量不足，需要补充，且认定已有数据可信时，通常利用函数插值方法建立插值模型。
目标：根据一组观测数据寻找函数关系。
具体方法：
Langrange插值、线性插值、二次插值等
一维插值 分段线性插值
分段三次插值
分段三次样条插值
二维插值 规则格点
不规则散点
3.一维插值
3.1线性模型
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(x)在两个互异点的值，
、
和
。现要求用线性函数
来近似替代f(x),选择参数a和b, 使
,称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
(几何意义）
用通过两点的直线近似替代曲线，其点斜式为：
为了便于推广，记：
。
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合，其中
3.2分段线性插值模型
，其中：
3.3Lagarange插值（抛物插值、二次插值）
互异的三点联立得到带入模型：
几何意义：
化简后得到的插值函数：
3.4分段三次（Hermite）插值
许多实际问题不但要求插值函数j(x)在插值节点处与被插函数f(x)有相同的函数值j(xi)=f(xi) (i=0,1,2,…,n), 而且要求在有些节点或全部节点上与f(x)的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，能满足这种要求的插值问题就称为Hermite插值。
（几何意义）
构造模型方法：构造两组3次多项式函数，满足：
具体表达式：
3.5样条插值
j(xi) = yi 在每个小区间[xi, xi+1]上是三次多项式函数，且在整个区间上二阶导数连续。可以借助分段三次插值函数表达式，利用：
j" (xi -)=j " (xi+) i=1,…,n-1 和边界条件，
例如已知m0mn确定mi i=1, …, n-1
4.高次插值的龙格现象
插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的，因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函数f(x)的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。
该现象表明,在大范围内使用高次插值,逼近的效果往往是不理想的。
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。
5.二维插值
（网格节点） （散乱节点）
5.2规则网格节点插值
观测数据 (xi,yj ,zij) i=0,1,2,…,n; j=0,1,2,…,m.
a= x0 < …<xn=b, c=y0 < …<yn=d.
构造二元函数 z=j(x，y) 满足zij=j(xi ,yj )
由此确定插值点(x*,y*)处的值z* =j(x*,y*) 。
常用方法：
- 最邻近插值
- 分片线性插值
- 双线性插值
（Matlab实现）
5.3散乱节点插值
1.Shepard方法：
反距离加权平均法，或称为Shepard方法。
基本思想：在点(x, y)≠(xi,yi)，定义其插值函数的函数值为节点处函数值按(x, y)与节点距离的某种形式反比作为权重的加权平均,即某一点的函数值受周围各点的影响,较近的点影响较大,较远的点影响较小,其影响权数与距离平方成反比。
具体过程：
已知数据点(xi,yi,zij)，例如若记 ：
则插值函数（曲面）可定义为：
其中，
这样定义的插值曲面是全局相关的，对曲面上任一点作数值计算都要涉及到全体已知数据，因而在已知数据量大的情况下计算量相当大，而且插值曲面在节点(xi,yi)处不光滑。
由于该方法思路简单，故而有很多种改进方法。
2.Kriging插值法：
概要：
1.它建立在地质统计学理论基础上
2.利用区域化变量的原始数据和半方差函数的结构特征,对位采样点的区域化变量的取值进行线性最佳无偏估计。
Kriging插值方法的基本步骤：
1.该方法中衡量各点之间空间相关程度的测度是半方差，其计算公式为：
其中，h为各点之间距离，n 是由h 分开的成对样本点的数量，z 是点的属性值。
2.在不同距离的半方差值都计算出来后，绘制半方差图，横轴代表距离，纵轴代表半方差。
利用做出的半方差图找出与之拟合的最好的理论变异函数模型（这是关键所在），可用于拟合的模型包括高斯模型、线性模型、球状模型、指数模型、圆形模型。
----球状模型，球面模型空间相关随距离的增长逐渐衰减，当距离大于球面半径后，空间相关消失
3. 利用拟合的模型估算未知点的属性值，方程为：
其中， z0为估计值，zx是已知点的值，wx为权重，s是用来估算未知点的已知点的数目。
（Matlab实现）
