照亮数学的七道光芒

目前总分：100 + 100 + 50 + 0 + 8 + 0 + 50 = 308

A (100 pts)

$$f^k(x)={\displaystyle \frac{x^{2^k}}{2^{2^k-2}}}={\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^{2^k-2}\times x^2$$

当 $x=2$ 时，$k$ 一定会很小就能 $\ge 2^n$ 或无解。

当 $x=3$ 时：

$${\displaystyle \frac{x^{2^k}}{2^{2^k-2}}}\ge 2^n$$

$$x^{2^k}\ge 2^{n+2^k-2}$$

$${\log }_2{x}^{2^k}\ge n+2^k-2$$

$${\log }_{b}n={\displaystyle \frac{{\log }_{a}n}{{\log }_{a}b}}$$

$${\log }_2{x}^{2^k}={\displaystyle \frac{2^k}{{\log }_{x}2}}$$

$${\displaystyle \frac{2^k}{{\log }_{x}2}}\ge n+2^k-2$$

$$2^k\ge n{\log }_{x}2+2^k{\log }_{x}2-2{\log }_{x}2$$

$$2^k(1-{\log }_{x}2)\ge n{\log }_{x}2-2{\log }_{x}2$$

$$2^k\ge {\displaystyle \frac{n{\log }_{x}2-2{\log }_{x}2}{1-{\log }_{x}2}}$$

$${\log }_{x}2={\displaystyle \frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}x}}$$

直接通过 std :: log10 计算即可，期望 100 pts。

B (100 pts)

$$d_i=\lfloor 1+{\log }_{10}i\rfloor$$

$$p_n=\sum _{i=1}^n{d}_i$$

$$\text{goal}=\sum _{i=1}^n\phi (i)(p_{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }+d_i{\log }_2{d}_i)$$

$p$ 和 $d$ 可以带 $\log$ 以 一定常数 计算。

$\phi (x)$ 可以线性计算，期望 60 pts。

哦？最后一个 subtask 只需要跑 1.06s？

把 long long 换成 int，只需要 1.03s 了，卡常！

把 std :: vector 换成数组，一个点 1.03s 卡到 1.02s 了！

发现 $d$ 函数调用了 $2$ 次，改了改 0.919s 过了！100 pts！

C (50 pts)

直接暴力，期望 15 pts。

subtask 2 是简单的，就是 $1+2+\cdots +n$ 减去 $(1+2+\cdots +\lfloor {\displaystyle \frac{n}{d}}\rfloor )\times d$ 再加上 $(1^2+2^2+\cdots +{\lfloor {\displaystyle \frac{n}{d}}\rfloor }^2)\times d^2$ 就行。

用 $1^2+2^2+\cdots +n^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ 随便算算？

期望 30 pts。

$$1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n{)}^2$$

$$1^4+2^4+\cdots +n^4={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2-3n+1)}{30}}$$

知道了这些然后就可以容斥与 $d$ 的 gcd 随便做做？期望可以过 subtask 4，50 pts。

D (0 pts)

$$D=\sum _{i=1}^n{d}_i$$

$$D^{\prime }=\sum _{i=1}^n{d}_i^2$$

$$V=\sum _{i=1}^n{v}_i$$

$$V^{\prime }=\sum _{i=1}^n{v}_i^2$$

$$\text{ESS}=\sum _{i=1}^n(a{d}_i+b-v_i{)}^2$$

$$\text{ESS}=\sum _{i=1}^n((a{d}_i-v_i{)}^2+b^2+2b(a{d}_i-v_i))$$

$$\text{ESS}=b^{2}n+\sum _{i=1}^n(a{d}_i-v_i{)}^2+2b\sum _{i=1}^n(a{d}_i-v_i)$$

$$\text{ESS}=b^{2}n+2abD-2bV+\sum _{i=1}^n(a{d}_i-v_i{)}^2$$

$$\text{ESS}=b^{2}n+2abD-2bV+\sum _{i=1}^n(a^2{d}_i^2-2a{d}_i{v}_i+v_i^2)$$

$$\text{ESS}=b^{2}n+2abD-2bV+a^2{D}^{\prime }+V^{\prime }-2a\sum _{i=1}^n{d}_i{v}_i$$

E (8 pts)

爆搜，期望 8 pts。

G (50 pts)

发现 10.in 的图是 $n$ 个自环，是平凡的。答案是 $420094585$。期望 10 pts。

发现 4.in 的图是个 $80$ 个点的完全图（含自环，共 ${80}^2$ 条边），也就是可以随意走，边权都是 $7$，点权有 $38$ 个 $537653823$ 和 $42$ 个 $1$。以及 $V={10}^{13}$

答案的公式为：

$$\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{{10}^{13}}{537653823}\rfloor }{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i+{10}^{13}-537653823i}{i})}{7}^{i+{10}^{13}-537653823i-1}\times ({38}^i\times {42}^{{10}^{13}-537653823i})$$

$$\sum _{i=0}^{18599}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{{10}^{13}-537653822i}{i})}{7}^{i+{10}^{13}-537653823i-1}\times ({38}^i\times {42}^{{10}^{13}-537653823i})$$

对于任意的一个给定的 $i$，我们都可以在 $\log 998244353$ 的时间内计算 $7^{i+{10}^{13}-537653823i-1}\times ({38}^i\times {42}^{{10}^{13}-537653823i})$，所以考虑组合数怎么算。

$$\sum _{i=0}^{18599}\left(\prod _{j=1}^i{\displaystyle \frac{{10}^{13}-537653822i-j+1}{j}}\right)(7^{i+{10}^{13}-537653823i-1}\times ({38}^i\times {42}^{{10}^{13}-537653823i}))$$

哦，是不是可以 $O({18599}^2)$ 爆算啊？

真的可以，答案是 $118356523$，期望 20 pts。

看 5.in，这是限制了要走的步数，让你求路径权值和，显然可以矩阵快速幂！答案为 $127395465$。期望 30 pts。

看起来 1.in 的数据都挺小的，感觉很能 DP！答案为 $286204592$。期望 40 pts。

考虑 2.in。2.in 的边权都是 $3$，而且点权都不超过 $400$，还是可以矩阵快速幂。答案是 $612200775$。期望 50 pts。