决策单调性相关

1. 四边形不等式

1.1 小标题该怎么起阿

考虑一个形式如下的 DP：

\[f_{i} = \min_{j = 1}^{i}val(j, i) \]

其中 \(i\) 满足 \(1 \leq i \leq n\)。

设 \(f_{i}\) 的最优决策点为 \(oper_{i}\)。

1.2 一些概念

决策单调性：指满足 \(\symbfit{oper_1 \leq oper_2 \leq \dots \leq oper_n}\)。

四边形不等式：对于任意的 \(\symbfit{a \leq b \leq c \leq d}\)，有 \(\symbfit{val(a, c) + val(b, d)}\) 优于 \(\symbfit{val(a, d) + val(b, c)}\)。

1.3 一个小结论

如果一个 dp 函数 \(val\) 满足四边形不等式，那么这个 dp 具有决策单调性。

证明？不会。