[Maths] 数学做题记录

一些前置内容

Min-Max 容斥

maxx∈Sx=∑T⊆S(−1)T−1minx∈Tx

minx∈Sx=∑T⊆S(−1)T−1maxx∈Tx

E(maxx∈Sx)=∑T⊆S(−1)T−1E(minx∈Tx)

E(minx∈Sx)=∑T⊆S(−1)T−1E(maxx∈Tx)

P7481 梦现时刻

由题得：

F(a,b)=∑i=0b(bi)(n−ia)

根据公式 (nm)=(n−1m−1)+(n−1m)，有：

F(a,b)=∑i=0b(b−1i−1)(n−ia)+∑i=0b(b−1i)(n−ia)

F(a,b)=∑i=0b(b−1i−1)(n−ia)+F(a,b−1)

好的我们发现这个式子烦人的一点就是 ∑i=0b(b−1i−1)(n−ia)，考虑将其也写成若干个 F 乘系数的形式。

∑i=0b(b−1i−1)(n−ia)=∑i=−1b−1(b−1i)(n−i−1a)

=∑i=−1b−1(b−1i)(n−ia)−∑i=−1b−1(b−1i)(n−i−1a−1)

=F(a,b−1)−∑i=−1b−1(b−1i)(n−i−1a−1)

现在的目标转化为化简 ∑i=−1b−1(b−1i)(n−i−1a−1)，继续：

∑i=−1b−1(b−1i)(n−i−1a−1)=∑i=−1b−1(bi+1)(n−i−1a−1)−∑i=−1b−1(b−1i+1)(n−i−1a−1)

=∑i=0b(bi)(n−ia−1)−∑i=0b(b−1i)(n−ia−1)

因为 (b−1b)=0，所以有：

=∑i=0b(bi)(n−ia−1)−∑i=0b−1(b−1i)(n−ia−1)

=F(a−1,b)−F(a−1,b−1)

整理一下，有：

∑i=−1b−1(b−1i)(n−i−1a−1)=F(a−1,b)−F(a−1,b−1)

∑i=0b(b−1i−1)(n−ia)=F(a,b−1)−(F(a−1,b)−F(a−1,b−1))

∑i=0b(b−1i−1)(n−ia)=F(a,b−1)−F(a−1,b)+F(a−1,b−1)

F(a,b)=F(a,b−1)−F(a−1,b)+F(a−1,b−1)+F(a,b−1)

F(a,b)=2F(a,b−1)−F(a−1,b)+F(a−1,b−1)

好的！我们现在得到了递推式，可以 O(m2) 计算，但是考虑一些边界情况：

F(0,b)=2b

F(a,0)=(na)

因为 n≤109，所以需要使用以下公式计算：

(na)=∏i=n−a+1nia!

P3175 [HAOI2015] 按位或

这里设 U={0,1,…,n−1}。

设 ti(0≤i<n) 表示 2i 这个二进制位在第 ti 次操作时 第一次从 0→1。

那么答案为 maxi=0n−1ti，为了方便转化为 Min-Max 容斥的形式，考虑将其写成 maxi∈Uti。

因为 maxi∈Sti 很难求解，所以考虑求 mini∈Sti：

我们考虑求选出的数集与 S 的交集不为空的概率：这样很难计算，考虑正难则反：求出选出的数集与 S 的交集为空的概率，也就是选出的数集是 U∖S 的子集的概率，高维前缀和可以 O(2n×n) 求解。

然后考虑套用 Min-Max 容斥的公式：

maxx∈Sx=∑T⊆S(−1)T−1minx∈Tx

然后将 (−1)T−1minx∈Tx 扔到一个数组中，然后跑一遍高维前缀和即可。

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