[学习笔记] 莫队

一、普通莫队

莫队是一种基于分块的算法，由莫队提出（orz）。

莫队可以解决一类查询序列区间信息的题。

可以使用该算法的 前提 是维护的信息必须可以在 $O(1)$（如果用 map / set 可以带 $\log$，或者优化成 $O(1)$）内将 $[l,r]$ 的答案扩展到 $[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]$。

• 将序列分块，并将所有询问离线。然后将左端点所在的块的编号作为第一关键字，右端点作为第二关键字，将询问排序。

• 记 $q_i$ 为第 $i$ 个询问，$m$ 为询问个数，那么我们暴力的从 $q_1$ 改到 $q_2$，从 $q_2$ 改到 $q_3$，一直改到 $q_m$。

• 分析时间复杂度。设块长为 $L$，假定扩展区间复杂度为 $O(1)$；左端点在一个块内的询问，移动最多 $n$ 次，有 ${\displaystyle \frac{n}{L}}$ 块，所以这部分的复杂度为 $O\left({\displaystyle \frac{n^2}{L}}\right)$，因为这样每次改可能跨越块，所以这部分的复杂度为 $O(mL)$，总复杂度 $O({\displaystyle \frac{n^2}{L}}+mL)$。我们要让这个式子尽可能小，所以要让这两项相等，即 ${\displaystyle \frac{n^2}{L}}=mL$，解得 $L={\displaystyle \frac{n}{\sqrt{m}}}$，时间复杂度 $O(n\sqrt{m})$。