Codeforces Round 889 (Div. 1) 题解

A1. Dual (Easy Version)

https://codeforces.com/contest/1854/problem/A1

题意

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，你可以做以下操作：

• 选定两个下标 $i,j(1\le i,j\le n)$，$i,j$ 可以相同，然后 $a_i\leftarrow a_i+a_j$。

要求构造一种操作方案，使得 $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$，操作次数不得超过 $\mathbf{\text{50}}$ 次。

$1\le n\le 20,-20\le a_i\le 20$。

题解

其实 $50$ 次的限制很松。

首先如果没有正数，那么直接做一遍后缀和即可，次数 $(n-1=)19$。

如果有正数，那么随便选一个正数，然后不断自己加自己，直到大于一个 $20$ 的数（代码里选的是 $45$）。

然后让负数加上这个处理完的正数，做一遍前缀和即可，操作次数最多 $(6+n-1+n-1=2n+4=)44$ 次。

https://codeforces.com/contest/1854/submission/216383173

A2. Dual (Hard Version)

https://codeforces.com/contest/1854/problem/A2

题意

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，你可以做以下操作：

• 选定两个下标 $i,j(1\le i,j\le n)$，$i,j$ 可以相同，然后 $a_i\leftarrow a_i+a_j$。

要求构造一种操作方案，使得 $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$，操作次数不得超过 $\mathbf{\text{31}}$ 次。

$1\le n\le 20,-20\le a_i\le 20$。

题解

$31$ 次操作刚好卡满。

首先前缀/后缀和最少需要 $(n-1=)19$ 次。

还剩下 $31-19=12$ 次。

分三种情况讨论（赛时就是没想到，寄在这了）：

• 如果都是 $\ge 0$ 的数，直接做前缀和；如果都是 $\le 0$ 的数，直接做后缀和。

• 如果正数的个数 $\le 7$，那么先将绝对值最大的负数自加 $5$ 次（至多为 $-32$），再加到这些正数上，就可保证所有的数都是非正数了；如果负数的个数 $\le 7$，那么先将绝对值最大的正数自加 $5$ 次（至少为 $32$），再加到这些负数上，就可保证所有的数都是非负数了。次数刚好是 $7+5+19=31$ 次。

• 否则正数和负数的个数都至少为 $8$，所以正数和负数的个数最大值也只能取到 $12$，用绝对值最大的加即可。次数也是 $12+19=31$ 次。

https://codeforces.com/contest/1854/submission/216386326

B. Earn or Unlock

https://codeforces.com/contest/1854/problem/B

题意

有一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，一开始只有 $a_1$ 是解锁的，其他的都是锁定的。你有一个动态的下标 $x$，初始为 $1$。

你要重复做以下操作：

• 如果 $a_x$ 是锁定的，那么直接结束所有操作。

• 解锁接下来 $a_x$ 个数或将得分加上 $a_x$。

• $x\leftarrow x+1$。

求最大得分。

$1\le n\le {10}^5,0\le a_1,a_2,\dots ,a_n\le n$。

题解

考虑暴力进行可行性 DP，设 $f_{i,j}$ 表示现在考虑到 $a_i$，解锁了前 $j$ 个数是否可以实现，转移方程 $f_{i,j}=f_{i-1,j}\text{ OR }{f}_{i-1,j-a_i}$。

初始状态 $f_{0,1}=1$，注意在转移完 $f_i$ 的时候最后要将 $f_{i,i}$ 赋值为 $0$！！！因为这样无法解锁 $a_{i+1}$，赛时就寄在这了。

很显然可以使用 bitset 优化，如果 $f_{i,j}=1$ 那么得分至少为 $a_1+a_2+\cdots +a_i-j+1$，因为 $f_{i,i+k}(k>0)$ 会被后边的算到，所以不用在 $i$ 考虑，只需要考虑 $f_{i,i}=1$ 的贡献即可。特别的，DP 到 $n$ 的时候要考虑 $f_{n,n\sim 2n}$。

$2n+1$ 以上的就是无效的，因为这样一定可以减去几个数使得其 $\le 2n$。

时间复杂度 $O\left({\displaystyle \frac{n^2}{w}}\right)$。

https://codeforces.com/contest/1854/submission/216387677