[学习笔记+做题记录] 扫描线

一、扫描线

扫描线一般用于图形类的计算，用数据结构辅助在图形上扫来扫去，比如计算矩形面积并，周长并，二位数点等问题。

二、Atlantis 问题 / 矩形面积并

https://www.luogu.com.cn/problem/P5490

先挂张图（明显是 OI-wiki 的）：

算法原理很简单，就是扫描一下每一个纵坐标 \(y\)（矩阵的边界），其对应在矩形并中有贡献的长度，然后累加即可。

比如说上面的动图，将矩形并分成 \(5\) 段，每一段都对应纵坐标的一段区间，然后再乘以在矩形并里的长度，算出这一段的面积然后累加即可。

Q：每一段的底边长度怎么维护？

A：用线段树，每加入 / 删除一个矩形就在线段树的对应区间更新即可。

然后就是纵坐标从小到大扫一遍。

如果范围很大就离散化。

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
#ifdef LOCAL
#include "algo/debug.h"
#else
#define debug(...) 42
#endif
typedef long long ll;
typedef pair < int, int > PII;
typedef int itn;
mt19937 RND_MAKER (chrono :: steady_clock :: now ().time_since_epoch ().count ());
inline ll randomly (const ll l, const ll r) {return (RND_MAKER () ^ (1ull << 63)) % (r - l + 1) + l;}
#define int long long
const double pi = acos (-1);
//__gnu_pbds :: tree < Key, Mapped, Cmp_Fn = std :: less < Key >, Tag = rb_tree_tag, Node_Upadte = null_tree_node_update, Allocator = std :: allocator < char > > ;
//__gnu_pbds :: tree < PPS, __gnu_pbds :: null_type, less < PPS >, __gnu_pbds :: rb_tree_tag, __gnu_pbds :: tree_order_statistics_node_update > tr;
inline int read () {
	int x = 0, f = 0;
	char c = getchar ();
	for ( ; c < '0' || c > '9' ; c = getchar ()) f |= (c == '-');
	for ( ; c >= '0' && c <= '9' ; c = getchar ()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	return !f ? x : -x;
}
const int N = 1e5 + 5;
int n, lx[N], ly[N], rx[N], ry[N], zb[N << 2];
struct events {int L, l, r, type;} ev[N << 2];
inline bool cmp (events p1, events p2) {
	return p1.L < p2.L;
}
int sum[N << 3], cnt[N << 3];
inline void push_up (int u, int l, int r) {
	if (cnt[u] > 0) sum[u] = zb[r] - zb[l - 1];
	else sum[u] = l == r ? 0 : sum[u << 1] + sum[u << 1 | 1];
}  
inline void update (int u, int l, int r, int x, int y, int v) {
	if (x <= l && r <= y) {
		cnt[u] += v;
		push_up (u, l, r);
		return ;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	if (x <= mid) update (u << 1, l, mid, x, y, v);
	if (y > mid) update (u << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, v);
	push_up (u, l, r);
}
signed main () {
	n = read ();
	for (int i = 1;i <= n; ++ i) {
		lx[i] = read (), ly[i] = read ();
		rx[i] = read (), ry[i] = read ();
	}
	int m = 0, m2 = 0;
	for (int i = 1;i <= n; ++ i) {
		ev[m].L = lx[i], ev[m].l = ly[i], ev[m].r = ry[i], ev[m].type = 1, m ++;
		ev[m].L = rx[i], ev[m].l = ly[i], ev[m].r = ry[i], ev[m].type = -1, m ++;
		zb[m2 ++] = ly[i], zb[m2 ++] = ry[i];
	}
	sort (zb, zb + m2);
	m2 = unique (zb, zb + m2) - zb;
	sort (ev, ev + 2 * n, cmp);
	int ans = 0;
	for (int i = 0;i <= 2 * (n - 1); ++ i) {
		int lf = lower_bound (zb, zb + m2, ev[i].l) - zb;
		int rt = lower_bound (zb, zb + m2, ev[i].r) - zb;
		update (1, 1, m2 - 1, lf + 1, rt, ev[i].type);
		ans += sum[1] * (ev[i + 1].L - ev[i].L);
	}
	printf ("%lld\n", ans);
	return 0;
}
// Always keep it simple and stupid

三、矩阵周长并

https://www.luogu.com.cn/problem/P1856

算一堆矩形的周长并要比面积并难一些。

对于每一个扫描线切出来的区间，我们要维护：

• 这个区间被覆盖了几次