[数学] 抽屉原理

一、抽屉原理

• Theorem 1. $n+1$ 个元素分配到 $n$ 个盒子里，一定会有一个盒子有 $\ge 2$ 个元素。

• Theorem 2. $m$ 个元素分配到 $n$ 个盒子里，一定会有一个盒子有 ${\displaystyle \ge \lfloor \frac{m-1}{n}\rfloor +1}$ 个元素。

• Theorem 3. 将无穷大个元素分配到有限个盒子里，一定会有一个盒子有无限多个元素。

经典题目

在 $3\times 4$ 的方格中任意放置 $6$ 个点，证明：可以找到两个点，其距离不超过 $\sqrt{5}$。

考虑将方格分成 $5$ 块，容易发现每一块中的最远点对的距离不超过 $\sqrt{5}$。

所以由抽屉原理可得，原命题成立。

总结

这类题反正就是构造元素和抽屉，然后用抽屉原理解决。