[数学] 抽屉原理

一、抽屉原理

• Theorem 1. \(n + 1\) 个元素分配到 \(n\) 个盒子里，一定会有一个盒子有 \(\geq 2\) 个元素。

• Theorem 2. \(m\) 个元素分配到 \(n\) 个盒子里，一定会有一个盒子有 \(\displaystyle \geq \left\lfloor\frac{m - 1}{n}\right\rfloor + 1\) 个元素。

• Theorem 3. 将无穷大个元素分配到有限个盒子里，一定会有一个盒子有无限多个元素。

经典题目

在 \(3 \times 4\) 的方格中任意放置 \(6\) 个点，证明：可以找到两个点，其距离不超过 \(\sqrt{5}\)。

考虑将方格分成 \(5\) 块，容易发现每一块中的最远点对的距离不超过 \(\sqrt{5}\)。

所以由抽屉原理可得，原命题成立。

总结

这类题反正就是构造元素和抽屉，然后用抽屉原理解决。