软考架构师（17）——应用数学

统筹学步骤

1. 确定目标
2. 制定方案
3. 建立模型
4. 制订解法

关键路径法CPM

1. 关键路径：在网络活动图AOE中，顶点到结束点最长的路径。
2. 关键活动：在关键路径上的活动是关键活动

网络优化

1. 时间优化：根据计划进度缩短完成时间。
2. 时间资源优化：在合理利用资源并缩短工期。
3. 时间费用优化：减少时间和费用。
   1. 极限时间：减少到的最短时间
   2. 直接费用率：(极限时间的直接费用-正常时间的直接费用)/(正常时间-极限时间）

网络实例

• 题：假设某信息系统开发工程合同工期为 25 个月，承建单位编制的网络计划图如图所示

 

1. 该网络计划能否满足合同工期要求？为确保工程按期完工，哪些工作应作为重点对象？
2. 当该计划执行 7 个月后，经监理工程师检查发现，工作 C 和 D 已完成，而 E 将拖后 2 个月。当计划执行到第 7 个月后，工作 E 的实际进度是否影响总工期？如果实际进度确定影响到总工期，为保证总工期不延长对原进度计划的调整方案有哪些？
3. 如果承建单位提出采用压缩某些工作持续时间，对原计划进行调整以保证工期不延长，各工作的直接费用率与极限时间如表所示。在不改变各工作逻辑关系的前提下，原进度计划的最优调整方案是什么？此时直接费用将增加多少万元？

工程过程	F	G	H	I	J	K	L
直接费用率	-	10	6	4.5	3.5	4	4.5
极限时间-月	2	6	5	3	1	4	3
正常时间	2	8	7	5	4	6	5

• 解：

1. 图中有2条虚线表示需活动，不占用资源。关键路径为A-E-H-I-K，长度25,正好与合同周期一致，满足合同要求，因此需要对AEHIK五个工作作为重点对象。
2. 因为E在关键路径上，所有会导致总工期延长2个月；为保证总空气不延长，有2中调整方法，一是改变某些工作之间的逻辑关系，二是缩短某些工作的时间。
3. 需要调整关键路径上的A、E、H、I、K、工作，因为已经到了第7个月，因此A不在可调整范围内，另外E不在压缩表中，因此只能调整H、I、K这三个工作，而在表中K的直接费用率最小，且极限时间可以减少2个月，正好满足需要。但是K压缩1个月后关键路径会发生变化，AEHIK和AEHIL都是关键路径，此时只能压缩I工作，所以I和K各压缩一个月，费用为4+4.5=8.5万元。

线性规划

• 概念：研究在有限资源条件下，如何有效的使用资源达到预定目标的数学方法，也是在一组约束条件下寻找目标函数的极值问题。
• 求极大（或极小）值的模型：

 

• 在上述条件下，求x1,x2,...xn。使满足表达式极大（或极小）值z=c1x1+c2x2+..+cnxn

图解法

• 题：某工厂在计划期内要安排生产 I、II 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原料的消耗，如表所示

	I	II	总数
设备	1	2	8台时
原材料A	4	0	16kg
原材料B	0	4	12kg

1. 该工厂每生产一件产品 I 可获利 2 元，每生产一件产品 II 可获利 3 元，问应该如何安排计划使该工厂获利最多？

• 解：设 x1，x2 分别表示在计划期内产品 I、II 的产量，因为设备的有效台时是 8，这是一个限制产量的条件，所以在确定产品 I、II 的产量时，要考虑不超过设备的有效台时数，其中产品I需要1台设备，产品II需要2台设备，即可用不等式表示为：x1+2*x2≤8。
• 同理，因原料 A、B 的限量，可以得到以下不等式：
  4 * x1 ≤16
  4 * x2 ≤12
• 该工厂的目标是在不超过所有资源限制的条件下，如何确定产量 x1，x2 ，以得到最大的利润。若用 z 表示利润，这时 z =2*x1 +3*x2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：目标函数：最大z = 2*x1 + 3*x2
• 约束条件：x1 +2*x2 ≤8、4*x1 ≤16、4*x2 ≤12、x1、x2≥ 0。
• 在以 x1，x2 为坐标轴的直角坐标系中，非负条件 x1， x2 ≥0 是指第一象限。上述每个约束条件都代表一个半平面。例如，约束条件 x1 + 2*x2 ≤8 代表以直线 x1 + 2*x2 ≤ 8 为
  边界的左下方的半平面。若同时满足 x1， x2 ≥0， x1 + 2*x2 ≤8， 4*x1 ≤16 和 4*x2 ≤12 的约束条件的点，必然落在由这三个半平面相交组成的区域内，如图 中的阴影部分所示。阴影区域中的每一个点（包括边界点）都是这个线性规划问题的解（称可行解），因而此区域本题的线性规划问题的解的集合，称它为可行域。

 

• 分析目标函数 z = 2*x1 +3*x2 在坐标平面上它可表示以 z 为参数，-2/3 为斜率的一族平行线：

• 

   

• 位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因此称为等值线。当 z 值由小变大时，直线沿其法线方向向右上方移动。当移动到 Q2 点时，使 z 值在可行域边界上实现最大化，这就得到了本题的最优解 Q2，Q2 点的坐标为（4，2）。经过计算，可以得出 z=14。
• 这说明该厂的最优生产计划方案是：生产 4 件产品 I，2 件产品 II，可得最大利润为 14 元。

决策论模型

1. 面向决策结果：过程为确定目标>收集信息>提出方案>方案选择>决策
2. 面向决策过程：阶段为预决策>决策>决策后

决策模型构成要素

1. 决策者：个人、委员会或组织，一般为领导者或群体
2. 可供选择的方案、行动或策略
3. 衡量选择方案的准则：包括目的、目标、属性、正确性的小组，具有单一准则或多准则。
4. 事件：不为决策者锁控制的客观存在的将要发生的状态。
5. 每一事件的发生将产生的某种结果：如收益或者损失。
6. 决策者的价值观：如决策者对货币额或不同风险的主观价值。

不确定性决策准则

1. 悲观主义准则
2. 乐观主义准则
3. 折中主义准则
4. 等可能准则
5. 后悔值准则

不确定性决策准则实例

• 题：某公司需要根据下一年度宏观经济的增长趋势预测决定投资策略。宏观经济增长趋势有不景气、不变和景气 3 种，投资策略有积极、稳健和保守 3 种，各种状态的收益如表所示。

投资策略\经济趋势预测	不景气	不变	景气
积极	50	150	500
稳健	150	200	300
保守	400	250	200

• 解：

1. 乐观主义准则，追求最大值，最大值为收益值500，所以采取积极投资策略。
2. 悲观主义准则，追求最小值中的最大值，积极策略最小值50，稳健策略最小值150，保守策略最小值200，选择其中最大值200，所以采取保守策略。
3. 折中主义准则，根据值折中系数a，计算公式：cvi=α*max{aij}+(1−α)*min{aij}，其中0≤α≤1，即用每个决策方案在各个自然状态下的最大效益值乘以 α，再加上最小效益值乘以 1−α。然后再比较 cvi，从中选择最大者。显然，折中主义准则的结果取决于α的选择。α接近于1，则偏向于乐观；α接近于 0，则偏向于悲观。
4. 等可能准则，当决策者无法事先确定每个自然状态出现的概率时，就可以把每个状态出现的概率定为 1/n（n 是自然状态数），然后按照最大期望值准则决策。也就是说，把一个不确定型决策转换为风险决策。
5. 后悔值准则，将每个自然状态的最大收益值作为理想目标，然后将最大值与当前值相减的到后悔值，然后在每个策略的最大后悔值中选取最小值后悔值。可生产后悔值表，其中积极策略中最大后悔值为350，稳健最大后悔值为250，保守最大后悔值为300，再其中250位最小后悔值，所以采取稳健策略。

投资策略\经济趋势预测	不景气	不变	景气
积极	400-50=350	250-150=100	500-500=0
稳健	400-150=250	250-200=50	500-300=200
保守	400-400=0	250-250=0	500-200=300

风险决策

• 概念：决策者对客观情况不甚了解，但对将要发生的各种事件的概率是已知的。一般采取期望值最为决策准则。

风险决策准则

• 最大期望收益决策准则EMV：决策矩阵的各元素代表“策略-事件”对的收益值，先计算各策略的期望收利益值 ，然后从这些期望收益值中选取最大者，以它对应的策略为决策者应选择的决策策略。
• 最小机会损失决策准则EOL：决策矩阵的各元素代表“策略-事件”对的损失值，各事件发生的概率为，先计算各策略的期望损失值，然后从这些期望收益值中选取最小
  者，以它对应的策略为决策者应选择的决策策略。

风险决策实例

• 题：某电子商务公司要从 A 地向 B 地的用户发送一批价值为 90000 元的货物。从 A 地 到 B 地有水、陆两条路线。走陆路时比较安全，其运输成本为 10000 元；走水路时一般情况下的运输成本只要 7000 元，不过一旦遇到暴风雨天气，则会造成相当于这批货物总价值的 10%的损失。根据历年情况，这期间出现暴风雨天气的概率为 1/4，那么该电子商务公司该如何选择呢？
• 解：决策树如图

 

• 走水路时，成本为 7000 元的概率为 75%，成本为 16 000 元的概率为25%，因此，走水路的期望成本为(7000×75%)+(16000×25%) =9250（元）；
• 走陆路时，其成本为(10 000×75%)+(10 000×25%)=10000（元）。
• 所以，走水路的期望成本小于走陆路的成本，应该选择走水路。

对策论

• 概念：也称为竞赛论或博弈论，是研究具体竞争性现象的数学理论和方法，大到国际谈判、政治较量，小到日常生活算计，都是对策论的研究对象。

对策论实例

• 题：甲、乙两个独立的网站主要靠广告收入来支撑发展，目前都采用较高的价格销售广告。这两个网站都想通过降价争夺更多的客户和更丰厚的利润。假设这两个网站在现有策略下各可以获得 1000 万元的利润。如果一方单独降价，就能扩大市场份额，可以获得1500 万元利润，此时，另一方的市场份额就会缩小，利润将下降到 200 万元。如果这两个网站同时降价，则他们都将只能得到 700 万元利润。那么，这两个网站的主管各自经过独立的理性分析后，决定采取什么策略呢？
• 解：赢得矩阵

 

• 假设乙网站采用高价策略，那么甲网站采用高价策略得 1000 万元，采用低价策略得 1500 万元。因此，甲网站应该采用低价策略；
• 如果乙网站采用低价策略，那么甲网站采用高价策略得 200 万元，采用低价策略得 700 万元，因此，甲网站也应该采用低价策略。
• 采用同样的方法，也可分析乙网站的情况，也就是说，不管甲网站采取什么样的策略，乙网站都应该选择低价策略。因此，这个博弈的最终结果一定是两个网站都采用低价策略，各得到 700 万元的利润。
• 这个对策是一个非合作对策问题，且两个局中人都肯定对方会按照个体行为理性原则决策，因此，虽然双方采用低价策略的均衡对双方都不是理想的结果，但因为两个局中人都无法信任对方，都必须防备对方利用自己的信任（如果有的话）谋取利益，所以双方都会坚持采用低价，各自得到 700 万元的利润，各得 1000 万元利润的结构是无法实现的。即使两个网站都完全清楚上述利害关系，也无法改变这种结局。

数学建模

• 概念：当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
• 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的一种强有力的数学手段。
• 数学模型是客观世界中的实际事物的一种数学简化，它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。

数学建模形式

• 目标的评价准则：U=f(xi,yi,ξk）
• 约束条件：g(xi,yi,ξk)≥0
• xi为可控变量，yi为已知参数，ξk为随机因素
• 目标的评价准则一般要求达到最佳（最小或最大）、适中、满意等。准则可以是单一的，也可以是多个的。约束条件可以没有也可有多个。
• 当 g 是等式时，即为平衡条件。
• 当模型中无随机因素时，称它为确定性模型，否则为随机模型。
• 随机模型的评价准则可用期望值、方差表示，也可用某种概率分布来表示；
• 当可控变量只取离散值时，称为离散模型，否则称为连续模型。
• 也可按使用的数学工具，将模型分为代数方程模型、微分方程模型、概率统计模型、逻辑模型等；
• 若用求解方法来命名时，有直接最优化模型、数字模拟模型、启发式模型等；
• 也有按用途来命名的，例如，分配模型、运输模型、更新模型、排队模型、存储模型等；
• 还可以用研究对象来命名，例如，能源模型、教育模型、军事对策模型、宏观经济模型等。

数学建模的过程

1. 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
2. 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
3. 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数学工具。
4. 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数作出估算。
5. 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
6. 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
7. 模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

数学建模的方法

• 直接分析法：根据对问题内在机理的认识，直接构造出模型。
• 类比法：根据类似问题的模型构造新模型。
• 数据分析法：通过试验，获得与问题密切相关的大量数据，用统计分析方法进行建模。
• 构想法：对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的设想和描述，然后用已有的方法构造模型，并不断修正完善，直至用户比较满意为止。