Exgcd 学习笔记
逆元
基础运算符号
首先先介绍一下以下文章会用到的基础运算符号.
\(a\equiv b\) \((mod\) \(c)\) \(:\) 读作 \(a\) 及 \(b\) 对模 \(c\) 同余.及 \(a-b \mod c = 0\)
乘法逆元的定义
\(a\) 的逆元，及一个数可以取消一个式乘上 \(a\)。比如说 \(a\) 的乘法逆元即 \(\frac{1}{a}\) ， 也就是 \(a\) 的倒数.
那么思考：在模 \(p\)意义下\(a\)最小的逆元还是 \(\frac{1}{a}\) 吗 \(？\)
这里插入一个乘法逆元的模板同余方程
求一个\(ax\equiv 1\) \((mod\) \(b)\)，这里给出\(a,b\)，求出 \(x\) 的最小整数解.
以下将 \(x\) 的乘法逆元记作 \(x^{-1}\).
特殊地，\(0\) 没有乘法逆元
\(exgcd\) 求乘法逆元
设有一个\(y \in Z\) ，满足\(ax+by=1\). 因为题目中数据范围满足 \(2 \leqslant a,b\)且 \(x \in N^+\) ，所以说必有 \(y<0\).
然而 \(exgcd\) 是用来求 \(ax+by=gcd(a,b)\) 中的 \(x,y\) 的，不能直接求出 \(ax+by=1\)的解。那么考虑将这个方程转化.
为了构造出 \(gcd(a,b)=1\) ，考虑证明 \(a,b\)互质.
证明：
根据最大公因数的定义，可知\(a,b\mod \gcd(a,b)=0\)
\(exgcd\)
已知\(a,b\). \(ax+by=gcd(a,b)\) ，方便起见，记 \(G=gcd(a,b)\).
求解 \(x_0\)，即 \(x\) 的最小整数解.
若已经求出 \(x\) 的另解 \(x_1,y_1\) 满足 \(G=bx_1+(a \mod b)y_1\)，则必有 \(ax+by=bx_1+(a \mod b)y_1\)①
既有未知数 \(x,y\) 已知数 \(\{x_1,y_1,a,b\}\)，方程 \(ax+by=bx_1+(a \mod b)y_1\)，则有关于 \(x,y\) 的解多组.
那么考虑推导出限制 \(x,y\) 的方程，使得未知数变得只有一组解。或者求出未知数的一组任意解，然后通过处理的方程将已知的 \(x_i,y_i\) 变为 \(x_0,y_0\). 考虑后者
根据模运算的意义：
①式可化为$$ax+by=bx_1+(a-\left\lfloor{\frac{a}{b}}\right\rfloor\times b)y_1$$
那么\(x,y\)必然有一组解
接下来对比式
发现一式中的\(a\rightarrow b,\ b\rightarrow (a \mod b)y_1\).
有一种辗转相除法的感觉？
推导出 \(i\) 式与 \(i-1\) 式的关系
若有 \(a_n=G,\ b_n=0\) ，此时的 \(a_n,b_n\) 即 \(a,b\) 的一组解.
这时候我们考虑找到一组 \(x_n,y_n\) 满足 \(a_nx_n+b_ny_n\) ，为了求 \(x\) 的最小整数解，另 \(x_n=0\).
从上式的 \(x_n\) 递归求出 \(x\) 的解且满足 \(x \in N^+\) 由于 \(b_n\) 一定满足式 \(b_n=0\) ，所以辅助未知数 \(y_n\) 取什么都无所谓，以下令\(y=0\).
答案的转化
这里的答案只是 \(x\) 众多解其中的一个. 所以要继续处理 \(x\).
设有辅助的数 \(k \in N^+\) ，最终的解 \(x_0=x-kb\).
那么 \(x_0\) 直接 \(x_0=(x\mod b +b) \mod b\).
短小精悍的代码
\(\downarrow\)
#include <bits/stdc++.h>
#define F(i,s,n) for(register int i=s;i<=n;++i)
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,x,y,ans,tmp;
void exgcd(ll a,ll b){
if(!b){x=1,y=0;return;}
exgcd(b,a%b);
ll tmp=x;
x=y;
y=tmp-(a/b)*y;
}
int main(){
cin>>a>>b;
exgcd(a,b);
x=(x%b+b)%b;
cout<<x<<endl;
return 0;
}
