Euler 筛

考虑一种线性筛法，可在优于 \(\Theta (n)\) 或 \(\Theta(n)\) 的复杂度下筛素数。

变量解释

1. \(phi[i]\): 这个就是 \(\varphi(i)\) ， 其中 $$\varphi(n)=\sum_{i=1} ^{n} [i|n]$$ 其中 \(\varphi(n)\) 是一个积性函数.

2. 考虑到埃氏筛法的冗余计算，考虑优化反复标记操作的冗余。维护一个数组 \(vis[N]\)，\(vis[i]\) 表示 \(i\) 的最小质数。如果被标记迭代就表示 \(i\) 并非质数，反之为质数。考虑优化。
   维护一个数组 \(prime[N]\) ， \(prime[i]\) 等于第 \(i\) 个质数。
   后续再证明一下

巧妙之处

与埃氏筛法相比，欧拉筛将自己的复杂度控制到了 \(\Theta (n)\), 它的核心原理是优化对于 \(x\) 处理 \(x\) 相关的标记。

甚至还能处理对于最小质因数。

先在这里说一下积性函数的性质：

\[\varphi(x) \times \varphi(y) = \varphi(x\times y) \]

筛选标记的过程

如果要筛选 \(x\) 相关的质数，维护以下操作：

枚举 \(\forall y\in [1,x] \cap prime\)，对 \(y\) 进行以下操作：

首先考虑到欧拉函数的性质，然后对 \(phi[i] , vis[i]\) 迭代。

其次注意到如果 \(y|n\) ， 那么就跳出此次的循环。

肉眼可见，因为欧拉还是具有一些奇奇怪怪的冗余东西和大量的 \(\%\) ， 导致了欧拉筛巨大的常数。

证明

不证明.jpg

程序设计

这道题的话我们考虑不维护 \(vis\) 以及 \(\varphi\) , 代码长度甚至只有 \(12\) 行

#include<bits/stdc++.h>
const int N=2e6+10;
int phi[N],prime[N],vis[N];
int cnt,n;
void Input(void){
	std::cin>>n;
	phi[1]=1;
	for(register int i=2;i<=n;++i){
		if(!vis[i])prime[++cnt]=i,vis[i]=true;
		for(register int j=1;j<=cnt;++j){
			if(i*prime[j]>n)break;
			vis[i*prime[j]]=prime[j];
			if(!(i%prime[j]))break;
		}
	}
}
void Output(void){
	printf("%d\n",cnt);
	for(register int i=1;i<=cnt;++i)
		printf("%d ",prime[i]); 
}
int main(){
	Input();
	Output();
}