皮克定理及其证明

太美丽的梦。

by \(cdwcy\)

如果说有一个公式让我日日夜夜都想着证明之，那么也就只有皮克定理了。

参考：百度百科

考虑数学归纳法。

记号

记皮克定理为 \(S_P=P_n+\dfrac{P_m}{2}-1.\)

其中 \(P_n\) 表示所求多边形的内部的格点数，\(P_m\) 表示所求多边形的边上的格点数。

\(S_P\) 表示多边形的面积。

定义 \(PP'\) 为两个不重叠的多边形 \(P,P'\) 的并集。

数学归纳法 · 递推部分证明

考虑到每个多边形都可以表示作若干个不重叠的三角形的并集。所以当证明

在 \(P\) 满足定理，与之有一条重边的三角形 \(T\) 满足定理时 \(PT\) 满足定理，一般三角形 \(T\) 满足定理

定理成立。

先证前半部分。

有

\[S_P=P_n+\dfrac{P_m}{2}-1 \]

\[S_T=T_n+\dfrac{T_m}{2}-1 \]

设两个多边形的重边上的格点数为 \(c.\) 则

\[\begin{aligned} S_{PT}&=S_P+S_T\\ &=P_n+\dfrac{P_m}{2}-1+T_n+\dfrac{T_m}{2}-1\\ &=(P_n+T_n+c-2)+\dfrac{P_m+-c+T_m-c+2}{2}-1\\ &=PT_{n}+PT_m-1 \end{aligned}\]

数学归纳法 · 初始部分

要证一个一般三角形满足定理。

那么考虑一般三角形可以分解为一个矩形和三个直角三角形的差。

注意这里的直角三角形是有可能退化的。

先证直角三角形，然后矩形可以表示为两个直角三角形的和。

所以只用证直角三角形就好了。而这个直角三角形又可以表示为一个基本图形与一堆三角形的和。

所以考虑证一个基本图形：

四个相邻格点互相连接所成正方形的一半。也就是这样四个格点所围成的一半：

.\(\quad\!\!\).
.\(\quad\!\!\).

可以想象，\(m=3,n=0\)。显然满足条件。

\[\texttt{Solved!} \]