递归求解n皇后问题

​ 一、问题描述

        在n×n的方格棋盘上放置n个皇后，要求每个皇后不同行、不同列、不同左右对角线。下图所示为6皇后问题的一个解。

二、问题求解

        采用整数q[N]来存放每一个皇后所在的列号，即第i个皇后在(i，q[i])位置上，count_1表示n皇后解的个数。在n皇后求解过程中：

        1、确定该皇后是否可以放置，即确定冲突（第一个皇后随意放置）：设上一个皇后位置为(k，q[k])，故不同行：i!=k，不同列：q[i]!=q[k]，不同左右对角线：abs(i - k) == abs(j - q[k])。在这些位置上，皇后不可以放置。

        2、递归求解：将大问题转化为小问题，设queen(i，n)是在1~i-1行已经放置了i-1个皇后，用于在i~n行放置剩下的n-i+1个皇后，则queen(i+1，n)表示已经在1~i行上已经放好了i个皇后，用于在i+1~n行放置剩下的n-i个皇后，故queen(i，n)是大问题，queen(i+1，n)是小问题。递归模型如下：

        queen(i，n)：n个皇后放置完毕，输出一个解   若i>n;

        queen(i，n)：在第i行找到一个位置（i，j）放置皇后；queen(i+1，n)   其他情况

三、代码

#include<iostream>
#include<math.h>
#define N 20;
using namespace std;
int q[20];            //存放个皇后所在的列号
int count_1 = 0;        //累计解个数

void dispasolution(int n) {//输出n皇后问题的一个解
    cout << "第" << ++count_1 << "个解：";
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cout << "(" << i << "," << q[i] << ") ";
    }
    cout << endl;
}

bool place(int i, int j) {//测试(i,j)位置能否放置皇后（第i行）
    if (i == 1) return true;
    int k = 1;
    while (k < i) {
        if (q[k] == j || (abs(i - k) == abs(j - q[k]))) {//判断当前位置是否可以放置皇后
            return false;
        }
        k++;
    }
    return true;
}

void queen(int i, int n) {//放置第i行的皇后
    if (i > n) dispasolution(n);      //递归出口，输出n皇后
    else {
        //注意：当找到一个解后，遇到递归出口，但j会继续向后遍历，寻找其他解，相当于是递归进去直至最后一行，在返回过程中，发现没有其他解会继续返回，有其他解又会继续递归，直到返回至第一行有其他皇后可以放置在继续递归
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {//每次放置皇后从左到右依次遍历并判断
            if (place(i, j)) {          //(i,j)可以放置
                q[i] = j;              //记录皇后位置
                queen(i + 1, n);      //递归放置下一行的皇后
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    cout << "皇后问题（n<20）n=";
    cin >> n;
    if (n >= 20) cout << "n值太大，不能求解" << endl;
    else cout << n << "皇后问题求解如下：" << endl;
    queen(1, n);        //放置1~n行的皇后
    return 0;
}

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