[经典算法] Eratosthenes筛选求质数

题目说明：

除了自身之外，无法被其它整数整除的数称之为质数，要求质数很简单，但如何快速的求出质数则一直是程式设计人员与数学家努力的课题，在这边介绍一个著名的 Eratosthenes求质数方法。

 

题目解析：

首先知道这个问题可以使用回圈来求解，将一个指定的数除以所有小于它的数，若可以整除就不是质数，然而如何减少回圈的检查次数？如何求出小于N的所有质数？
首先假设要检查的数是N好了，则事实上只要检查至N的开根号就可以了，道理很简单，假设A*B = N，如果A大于N的开根号，则事实上在小于A之前的检查就可以先检查到B这个数可以整除N。不过在程式中使用开根号会精确度的问题，所以可以使用 i*i <= N进行检查，且执行更快。
再来假设有一个筛子存放1～N，例如：

2　3　4　5　6　7　8　9　10　11　12　13　14　15　16　17　18　19　20　21 ........ N

先将2的倍数筛去：

2　3　5　7　9　11　13　15　17　19　21 ........ N

再将3的倍数筛去：

2　3　5　7　11　13　17　19　........ N

再来将5的倍数筛去，再来将7的质数筛去，再来将11的倍数筛去........，如此进行到最后留下的数就都是质数，这就是Eratosthenes筛选方法（Eratosthenes Sieve Method）。
检查的次数还可以再减少，事实上，只要检查6n+1与6n+5就可以了，也就是直接跳过2与3的倍数，使得程式中的if的检查动作可以减少。

 

程序代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <gtest/gtest.h>
using namespace std;

vector<int> EratosthenesPrime(int nSize)
{
    bool* Primes = new bool[nSize];
    memset(Primes, true, sizeof(bool)* nSize);

    for (int i=2; i * i <= nSize; ++i)
    {
        if (Primes[i])
        {
            for (int j = i*i; j < nSize; j+=i)
            {
                Primes[j] = false;
            }
        }
    }

    vector<int> Result;
    for (int i=2; i < nSize; ++i)
    {
        if (Primes[i])
        {
            Result.push_back(i);
        }
    }

    delete[] Primes;

    return Result;
}

TEST(Algo, tEratosthenesPrime)
{        
    vector<int> Result = EratosthenesPrime(100);
    cout << "N:100  " << Result.size() << endl;
    for (vector<int>::size_type i=0; i<Result.size(); ++i)
    {
        if (i % 16 == 0)
            cout << endl;

        cout << Result[i] << " ";
    }
    cout << endl << endl;
    
    Result = EratosthenesPrime(500);
    cout << "N:500  " << Result.size() << endl;
    for (vector<int>::size_type i=0; i<Result.size(); ++i)
    {
        if (i % 16 == 0)
            cout << endl;

        cout << Result[i] << " ";
    }
    cout << endl << endl;

    Result = EratosthenesPrime(1000);
    cout << "N:1000  " << Result.size() << endl;
    for (vector<int>::size_type i=0; i<Result.size(); ++i)
    {
        if (i % 16 == 0)
            cout << endl;

        cout << Result[i] << " ";
    }
    cout << endl << endl;
}

 

参考引用：

https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes