ABC230

C

不难发现

inline void check(int x,int y){
    //case #1:
    if(y==x+B-A) return (void)(cout<<'#');
    //case #2:
    if(y==-x+B+A) return (void)(cout<<'#');
    //else
    cout<<'.';
}

G

设函数（不是普通的莫比乌斯函数） \(\mu(d)=\begin{cases} 0,(1或有相同质数)\\1,(仅有奇数个不同质数)\\-1,(仅有偶数个不同质数) \end{cases}\)

质数指唯一分解下的质数

则有 \(\sum\limits_{d|n} \mu(d)=\begin{cases} 0,n=1 \\ 1,n \ge 2\end{cases}\)

证明：

设 \(n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times...\times p_k^{a_k}\)

因为 \(\mu(p^a)=0\)，所以我们只用考虑 \(n'=p_1\times p_2\times ... \times p_k\) 的情况。

不难发现，\(d\) 就是从这 \(k\) 个质数里面选出若干个数，所以我们枚举选出了几个数，有：

\(S=\mu(1)+\sum\limits_{i=1}^k\binom{k}{i}(-1)^{i+1}\)

\(=\mu(1)-\sum\limits_{i=1}^k\binom{k}{i}(-1)^i\)

\(=0-(-1+1)^k+1\)

\(=1\)

证毕。

所以有：

\(\sum\limits_{1\le i \le j\le N} [gcd(i,j)\ne 1且 gcd(p_i,p_j)\ne 1]=\sum\limits_{1\le i \le j\le N}\sum\limits_{a|gcd(i,j)} \mu(a) \sum\limits_{b|gcd(p_i,p_j)} \mu(b)\)

设 \(f(a,b,i,j)=\begin{cases}1,a|i,a|j,b|p_i,b|p_j\\0,其他情况\end{cases}\)

则 \(\sum\limits_{1\le i \le j \le N}\sum\limits^{N}_{a=1}\sum\limits_{b=1}^{N} \mu(a) \mu(b) f(a,b,i,j)\)

设 \(num\) 为满足 \(a|i,a|j,b|p_i,b|p_j\) 的数的个数

\(\therefore \sum\limits_{1\le i \le j \le N} f(a,b,i,j)=\binom{num+1}{2}\) （因为 \(i,j\) 可以相等，所以总点数 \(+1\) 表示可以自己选自己）

\(\therefore \sum\limits^{N}_{a=1}\sum\limits_{b=1}^{N} \mu(a) \mu(b) \binom{num+1}{2}\)

因为 \(\mu (p^a)=0\)，所以我们只用算那些只由不同素数相乘的 \(a,b\)。

我们考虑枚举所有 \(\mu(a)\ne 0\) 的 \(a\)，\(O(\frac{N}{a})\) 的复杂度处理出 \(num\)，并且发现要使 \(num\ne 0\)，\(b\) 必须是 \(p_i\) 的约数且 \(\mu(b)\ne 0\)。因为 \(2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17=510510>200000\)，所以这样枚举 \(b\)，复杂度为 \(2^6-1=63\)，总时间复杂度为 \(O(\sum\limits_{a=1}^N63\frac{N}{a}\approx 63NlogN)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,p[N],ans;
int amu[N],pr[N],cnt,num[N];
bool v[N];
int vis[N];
vector<int> M,S,d[N];
inline void init(){
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!v[i]) pr[++cnt]=i,amu[i]=1;
        for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;++j){
            v[pr[j]*i]=1;
            if(i%pr[j]==0) break;
            amu[pr[j]*i]=-amu[i];
        }
        if(amu[i]!=0){
            M.push_back(i);
            for(int j=i;j<=n;j+=i) d[j].push_back(i);
        }
    }
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    init();
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>p[i];
    for(auto a:M){
        for(int i=a;i<=n;i+=a){
            for(auto j:d[p[i]]){
                ++num[j];
                if(!vis[j]) vis[j]=1,S.push_back(j);
            }
        }
        for(auto b:S)
            ans+=amu[a]*amu[b]*(num[b]+1)*num[b]/2,num[b]=vis[b]=0;
        S.clear();
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}