浅谈2-SAT

用处#

给 $n$ 个 $0/1$ 变量，其之间满足若关系，这些关系本质上可以化成：若 $a_i$ 为 $0/1$，则 $a_j$ 为 $0/1$ 的若干命题，2-SAT 就是判断是否能够满足所有命题，并给出一组可行解（$n^2$ 可得字典序最小的特解）。

一般解法#

考虑建图，每个变量拆成真假两点，命题可以抽象出若干条如：若 $i$ 则必须 $j$ 形式的 $i\to j$ 的边。如果 $i$ 与 $i$ 的逆否命题 $\neg i$ 位于同一个强连通分量中，则无解，反之必定存在解，考虑怎么构造一组解。

强连通分量构成的图为一张 DAG，先给出结论：如果 $i$ 所在强连通的拓扑序在 $\neg i$ 的之后，则选 $i$。

感性理解：如果 $i$ 的强连通拓扑序越后，则它能影响到的点更小，显然更优。

具体证明：反证法讨论每种情况，矛盾都很显然，注意抓住建出的图是具有对称性的一点思考。

一般实现为 tarjan 求强连通，注意 tarjan 是 dfs 顺序，相当于一个栈，出栈时顺序会倒一下，所以先到的强连通拓扑序越大。

一些常见建边#

别人有总结，我觉得还是根据选 $i$ 必选 $j$ 的建边原则思考普适性要大一些。

一些题#

题单，Part 1 不讲。

UVA1391 Astronauts#

看似每个人有三个选项，实际上还是两个，所以直接2-SAT，$(i,j)$ 关系不好就是 $i\to \neg j,\quad j\to \neg i$。

P3513 [POI2011]KON-Conspiracy#

发现是一个团（集合内全互相有边）和一个独立集（集合内任意都无边），考虑如果我们知道一组可行解，怎么变成其他解。不难发现，只能从团拿一个元素去独立集、独立集拿一个元素去团、团和独立集交换一对元素三者中选一个进行变换，模拟一下统计能有几种变换即可。

P3825 [NOI2017]游戏#

对于 $a,b,c$ 都是只能选两个值，但是 $x$ 能选三个，这就不满足2-SAT了，但是我们可以枚举 $x$ 是 $a,b,c$ 中哪个来转换成 2-SAT 问题，但是发现 $a$ 包括选 $B,C$，$b$ 包括选 $A,C$，已经可以表示出 $x$ 的所有车辆选择了，所以只用 $2^d$ 枚举 $a,b$ 中哪个就好了。

建边：对于一组 $(i,h_i,j,h_j)$ 如果 $i$ 图和 $h_i$ 车矛盾，则不建边。反之，如果 $j$ 图与 $h_j$ 矛盾，则不可选 $h_i$，所以 $i \to \neg i$，再反之，$i\to j$ 且 $\neg j \to \neg i$。