P8867-[NOIP2022]建造军营【tarjan,树形dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P8867

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题目大意

给出一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向联通图。

标记至少一个点，标记一些边，要求删除任何一条标记边外的边后，标记的点仍然联通。

求方案数对 \(10^9+7\) 取模

\(1\leq n\leq 5\times 10^5,n-1\leq m\leq 10^6\)

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解题思路

显然非桥随便标记，所以先把边双缩起来成一棵树。

然后考虑树形 \(dp\) ，考虑以 \(1\) 为根，然后对于每个根可以求出所有标记边的 \(LCA\) 为这个点的方案数。

设 \(f_{i,0/1/2}\) 表示 \(i\) 的子树中没有标记点，\(i\) 子树中有标记点，但 \(LCA\) 不为/为 \(i\)

然后 \(dp\) 就好了，时间复杂度：\(O(n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10,P=1e9+7;
ll n,m,dfc,cnt,ans;
ll f[N][3],siz[N],pw[N<<1],num[N];
ll dfn[N],low[N],col[N];
vector<ll> G[N],T[N];
bool ins[N];stack<ll> s;
ll read(){
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
void tarjan(ll x,ll fa){
	dfn[x]=low[x]=++dfc;
	s.push(x);ins[x]=1;
	for(ll i=0;i<G[x].size();i++){
		ll y=G[x][i];
		if(y==fa)continue;
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y,x);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else if(ins[x])
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(dfn[x]==low[x]){
		ll k;cnt++;
		do{
			k=s.top();s.pop();
			col[k]=cnt;ins[k]=0;
		}while(k!=x);
	}
	return;
}
void dp(ll x,ll fa){
	siz[x]=1;f[x][0]=1;f[x][2]=pw[num[x]]-1;
	for(ll i=0;i<T[x].size();i++){
		ll y=T[x][i];
		if(y==fa)continue;dp(y,x);siz[x]+=siz[y];
		f[x][2]=((f[y][1]+f[y][2])%P*f[x][1]%P+(f[y][0]*2+f[y][1]+f[y][2])%P*f[x][2]%P)%P;
		f[x][1]=(f[x][0]*(f[y][1]+f[y][2])%P+f[x][1]*f[y][0]%P*2ll%P)%P;
		f[x][0]=f[x][0]*f[y][0]%P*2ll%P;
	}
	(ans+=f[x][2]*pw[cnt-siz[x]]%P)%=P;
	return;
}
signed main()
{
//	freopen("barrack.in","r",stdin);
//	freopen("barrack.out","w",stdout);
	n=read();m=read();pw[0]=1;
	for(ll i=1;i<=1e6;i++)pw[i]=pw[i-1]*2ll%P;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x=read(),y=read();
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x);
	}
	tarjan(1,0);
	for(ll x=1;x<=n;x++){
		for(ll i=0;i<G[x].size();i++)
			if(col[G[x][i]]!=col[x])
				T[col[x]].push_back(col[G[x][i]]);
		num[col[x]]++;
	}
	dp(1,0);ans=(ans+P)%P;
	printf("%lld\n",ans*pw[m-cnt+1]%P);
	return 0;
}