hdu7207-Find different【burnside引理】

正题

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7207

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题目大意

一个序列\(a\)，和它相同的序列当且仅当能通过以下操作实现相同：

• 将\(a_1\)丢到\(a_n\)，其余的向前移动一位。
• 令所有\(a_i=(a_i+1)\%m\)

对于\(n\in [1,N]\)，求有多少个不同的序列。

\(1\leq T\leq 100,1\leq N,m\leq 10^5,\sum N\leq 10^6\)

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解题思路

根据\(\text{burnside}\)引理，我们要找所有置换的不动点数量和。

置换总共有\(n\times m\)种，假设一种为循环位移了\(x\)步，且所有数字加上了\(y\)。

那么我们有\(a_i\equiv a_{(i+x)\%n}+y\pmod m\)，从一个数开始一直加\(x\)模\(n\)，我们知道会产生\(\gcd(n,x)\)个环，对于每个环来说总共加了\(\frac{n}{\gcd(n,x)}\)次\(y\)，最终又走回了起点。

也就是对于这个\(y\)来说合法的条件当且仅当\(y\times \frac{n}{\gcd(n,x)}\equiv 1\pmod m\)，不难得到合法的\(y\)的数量就是\(\gcd(m,\frac{n}{\gcd(n,x)})\)。

所以答案就是

\[\frac{1}{nm}\sum_{i=0}^{n-1}\gcd(m,\frac{n}{\gcd(n,x)})^{\gcd(n,i)} \]

\[\frac{1}{nm}\sum_{d|n}^n\varphi(\frac{n}{d})\gcd(m,\frac{n}{d})^{d} \]

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

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code

#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=998244353;
ll T,n,m,cnt,pri[N],phi[N],ans[N];
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{return y?gcd(y,x%y):x;}
void Prime(){
	phi[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])phi[i]=i-1,pri[++cnt]=i;
		for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
		}
	}
	return;
}
signed main()
{
	Prime();
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ll now=1,z=1;
        for(ll i=1;i<=n;i++){
        	z=z*m%P;
        	for(ll j=i;j<=n;j+=i)
        		(ans[j]+=z*phi[j/i]%P*gcd(m,j/i)%P)%=P; 
		}
		ll inv=power(m,P-2)%P;
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			ans[i]=ans[i]*power(i,P-2)%P*inv%P;
			printf("%lld%c",ans[i],(i==n)?'\n':' ');
			ans[i]=0;
		}
    }
    return 0;
}