CF1710C-XOR Triangle【dp】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1710C

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1|1题目大意

求有多少对$0\leq a,b,c\leq n$满足$a\ xor\ b,a\ xor\ c,b\ xor\ c$作为边长时能构成一个非退化三角形。

n以二进制形式给出

$1\leq n< 2^{2\times 10^5}$

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1|2解题思路

我们假设$x=a\ xor\ b,y=a\ xor\ c,z=b\ xor\ c$，会发现有$x\ xor\ y=z$。

我们先默认$max(x,y)\leq z$，那么一个合法的状态有$x+y>z$，也就是$x+y>x\ xor\ y$。

呃我们有$x+y\geq x\ xor\ y$，所以我们考虑减去不合法的状态，也就是$x+y=x\ xor\ y$。

也就是对于每一位来说$x$和$y$不能都是$1$，我们对于每一位来说，每次暴力枚举$a,b,c$的取值，设$f_{i,s}$表示做到第$i$位，目前$a,b,c$中取到上界的状态为$s$时的方案数即可。

时间复杂度：$O(\log n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353;
ll n,f[N][8],ans;
char s[N];
signed main()
{
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	f[0][7]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ans=(ans*2ll+(s[i]-'0'))%P;
		for(ll j=0;j<8;j++){
			for(ll k=0;k<8;k++){
				ll a=k&1,b=(k>>1)&1,c=(k>>2)&1;
				if(s[i]=='0'&&!(j&k)){
					if((a^b)&&(b^c)&&(a^c^1)||(a^b)&&(b^c^1)&&(a^c)||(a^b^1)&&(b^c^1)&&(a^c^1))
						(f[i][j]+=f[i-1][j])%=P;
				}
				else if(s[i]=='1'){
					if((a^b)&&(b^c)&&(a^c^1)||(a^b)&&(b^c^1)&&(a^c)||(a^b^1)&&(b^c^1)&&(a^c^1))
						(f[i][j&k]+=f[i-1][j])%=P;
				}
			}
		}
	}
	ans++;ans=(ans*ans%P*ans%P+2ll*ans+3*ans*(ans-1)%P)%P;
	for(ll i=0;i<8;i++)(ans+=P-f[n][i]*3ll%P)%=P;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/16579515.html
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