CF1710C-XOR Triangle【dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1710C

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题目大意

求有多少对\(0\leq a,b,c\leq n\)满足\(a\ xor\ b,a\ xor\ c,b\ xor\ c\)作为边长时能构成一个非退化三角形。

n以二进制形式给出

\(1\leq n< 2^{2\times 10^5}\)

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解题思路

我们假设\(x=a\ xor\ b,y=a\ xor\ c,z=b\ xor\ c\)，会发现有\(x\ xor\ y=z\)。

我们先默认\(max(x,y)\leq z\)，那么一个合法的状态有\(x+y>z\)，也就是\(x+y>x\ xor\ y\)。

呃我们有\(x+y\geq x\ xor\ y\)，所以我们考虑减去不合法的状态，也就是\(x+y=x\ xor\ y\)。

也就是对于每一位来说\(x\)和\(y\)不能都是\(1\)，我们对于每一位来说，每次暴力枚举\(a,b,c\)的取值，设\(f_{i,s}\)表示做到第\(i\)位，目前\(a,b,c\)中取到上界的状态为\(s\)时的方案数即可。

时间复杂度：\(O(\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353;
ll n,f[N][8],ans;
char s[N];
signed main()
{
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	f[0][7]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ans=(ans*2ll+(s[i]-'0'))%P;
		for(ll j=0;j<8;j++){
			for(ll k=0;k<8;k++){
				ll a=k&1,b=(k>>1)&1,c=(k>>2)&1;
				if(s[i]=='0'&&!(j&k)){
					if((a^b)&&(b^c)&&(a^c^1)||(a^b)&&(b^c^1)&&(a^c)||(a^b^1)&&(b^c^1)&&(a^c^1))
						(f[i][j]+=f[i-1][j])%=P;
				}
				else if(s[i]=='1'){
					if((a^b)&&(b^c)&&(a^c^1)||(a^b)&&(b^c^1)&&(a^c)||(a^b^1)&&(b^c^1)&&(a^c^1))
						(f[i][j&k]+=f[i-1][j])%=P;
				}
			}
		}
	}
	ans++;ans=(ans*ans%P*ans%P+2ll*ans+3*ans*(ans-1)%P)%P;
	for(ll i=0;i<8;i++)(ans+=P-f[n][i]*3ll%P)%=P;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}