Loj#3320-「CCO 2020」旅行商问题

正题

题目链接:https://loj.ac/p/3320

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题目大意

有一张\(n\)个点的无向完全图，每一条边是红色或者蓝色，对于每个点\(s\)求从这个点出发的一条尽量短的经过所有点的路径。

\(1\leq n\leq 2000\)

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解题思路

显然地猜测一下最短的长度肯定是\(n\)，说是找一条路径，实际上我们是能够找到一个颜色交替只有一次的环的，然后交替位置就在\(s\)的旁边。

我们构造一下，此时有两条不相交的路径\(s\rightarrow x,t\rightarrow y\)，并且两条路径上颜色都相同，一条红色一条蓝色。

我们假设\(s\rightarrow x\)的路径是红色，此时对于一个未加入的点\(z\)，如果\((x,z)\)是红色或者\((y,z)\)是蓝色那么直接加长路径即可。

否则也就是说\((x,z)\)是蓝色且\((y,z)\)是红色，我们考虑\((x,y)\)之间的路径颜色，假设是红色，那么如图

我们将\(y\)弹出路径\(t\rightarrow y\)，然后加入\(s\rightarrow x\)后就可以再加入\(z\)了。

如果是蓝色同理弹另一边。

但是此时会出现两种情况：

• 蓝色路径弹出后为空了，那么此时我们再找一个新的点当做新的\(t\)即可，反正我们的要求是\(s\)不变。
• 红色路径弹出后为空了，那么此时我们将\(z\)作为新的\(t\)，然后原本的\(s\rightarrow t\)路径变为\(s\rightarrow x\)路径。

时间复杂度：\(O(n^2)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=2100;
int n,G[N][N];
char s[N];
vector<int>l,r;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	if(n==2){
		printf("2\n1 2\n2\n2 1\n");
		return 0;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
		scanf("%s",s+1);
		for(int j=1;j<i;j++)
			G[i][j]=G[j][i]=(s[j]=='R');
	}
	for(int s=1;s<=n;s++){
		int z=s%n+1,g=0;l.clear();r.clear();
		l.push_back(z);r.push_back(s);g=G[s][z%n+1];
		for(int x=z%n+1;x!=s;x=x%n+1){
			if(G[r[r.size()-1]][x]==g)r.push_back(x);
			else if(G[l[l.size()-1]][x]==!g)l.push_back(x);
			else{
				if(G[l[l.size()-1]][r[r.size()-1]]==g){
					r.push_back(l[l.size()-1]);
					r.push_back(x);l.pop_back();
					if(!l.size()){
						x=x%n+1;if(x==s)break;
						l.push_back(z=x);
					}
				}
				else{
					l.push_back(r[r.size()-1]);
					l.push_back(x);r.pop_back();
					if(!r.size()){
						l.pop_back();l.swap(r);
						l.push_back(x);z=x;g=!g;
					}
				}
			}
		}
		printf("%d\n",n);
		for(int i=0;i<r.size();i++)printf("%d ",r[i]);
		for(int i=l.size()-1;i>=0;i--)printf("%d ",l[i]);
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}