UOJ#749-[UNR #6]稳健型选手【贪心,分治,主席树】
正题
题目链接:https://uoj.ac/problem/749
题目大意
如果有序列\(a\)，你每次取走一个数字后然后这个序列最前面的数字会被别人取走，直到序列为空。此时\(f(a)\)表示你最大能取走的权值和。
给出一个长度为\(n\)的序列\(a\)，\(q\)次询问区间\([l,r]\)，求\(f(a_{l\sim r})\)。
\(1\leq n,q\leq 2\times 10^5,1\leq a_i\leq 10^9\)
解题思路
考虑一下最优的取法，我们的限制其实相当于前\(2i-1\)个数之中不能取走超过\(i\)个数。
一个暴力的贪心想法是不停往前走，用一个堆维护现在取了的数，走到不是\(2i-1\)时我们考虑是否拿这个\(a_i\)替代堆里最小的数，走到\(2i-1\)时直接丢进堆里就行了。
或者反过来更简单，走到一个数就丢进堆里，遇到\(2i-1\)时直接取堆中最大的数就好了。
我们现在能处理左或右端点固定的所有答案了，我们考虑分治，问题在于怎么去合并两个区间的答案。
为了防止大量的分类讨论，对于长度为奇数的区间询问，我们可以考虑去掉区间的末尾，因为这个位置肯定会取到。
然后我们考虑怎么合并区间，显然是前面一些选了的数字变成不选，后面一些不选的数字变成选了，显然是前面拿小的，后面拿大的。
我们考虑在分治的时候对于区间\([L,mid,R]\)，对于\([L,mid]\)部分，我们用主席树维护选了的数字，对于\([mid+1,R]\)部分，我们用主席树维护没选的数字，然后对于一个询问，二分一个\(k\)，然后左边的取出前\(k\)小，右边的取出前\(k\)大进行比较即可。
时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,M=N<<5;
ll n,m,cnt,a[N],b[N],l[N],r[N],ans[N],s[N],rt[N];
priority_queue<ll> q;
struct SegTree{
ll cnt,w[M],c[M],ls[M],rs[M];
ll Change(ll x,ll L,ll R,ll pos,ll val){
ll p=++cnt;w[p]=w[x]+val;c[p]=c[x]+val*b[pos];
if(L==R)return p;ll mid=(L+R)>>1;
if(pos<=mid)ls[p]=Change(ls[x],L,mid,pos,val),rs[p]=rs[x];
else rs[p]=Change(rs[x],mid+1,R,pos,val),ls[p]=ls[x];
return p;
}
ll Find(ll x,ll L,ll R,ll k){
if(L==R)return L;ll mid=(L+R)>>1;
if(w[ls[x]]>=k)return Find(ls[x],L,mid,k);
return Find(rs[x],mid+1,R,k-w[ls[x]]);
}
ll Ask(ll x,ll L,ll R,ll k){
if(!k)return 0;
if(L==R)return b[L]*k;ll mid=(L+R)>>1;
if(w[ls[x]]>=k)return Ask(ls[x],L,mid,k);
return Ask(rs[x],mid+1,R,k-w[ls[x]])+c[ls[x]];
}
}T;
bool cmp(ll x,ll y){return l[x]<l[y];}
void solve(ll L,ll R,vector<ll> &now){
if(L==R)return;
ll mid=(L+R)>>1;
vector<ll> pl,pr,p;
for(ll i=0;i<now.size();i++)
if(l[now[i]]<=mid&&r[now[i]]>mid)p.push_back(now[i]);
else if(l[now[i]]<=mid)pl.push_back(now[i]);
else pr.push_back(now[i]);
solve(L,mid,pl);solve(mid+1,R,pr);
if(!p.size())return;
for(ll g=0;g<2;g++){
T.cnt=rt[mid]=s[mid]=0;
for(ll i=mid+1;i<=R;i++){
if(((i-mid)&1)==g)q.push(-a[i]),s[i]=s[i-1]+b[a[i]],rt[i]=rt[i-1];
else{
if(q.size()&&a[i]>-q.top()){
s[i]=s[i-1]-b[-q.top()]+b[a[i]];
rt[i]=T.Change(rt[i-1],1,cnt,-q.top(),1);
q.pop();q.push(-a[i]);
}
else rt[i]=T.Change(rt[i-1],1,cnt,a[i],1),s[i]=s[i-1];
}
}
while(!q.empty())q.pop();
for(ll i=mid;i>=L;i--){
q.push(a[i]);
if(((mid-i)&1)==g){
rt[i]=T.Change((i==mid)?0:rt[i+1],1,cnt,q.top(),1);
s[i]=((i!=mid)?s[i+1]:0)+b[q.top()];q.pop();
}
else if(i!=mid)rt[i]=rt[i+1],s[i]=s[i+1];
}
while(!q.empty())q.pop();
for(ll i=0;i<p.size();i++){
if(((mid-l[p[i]])&1)!=g)continue;
ll X=T.w[rt[l[p[i]]]],Y=T.w[rt[r[p[i]]]];
ll _l=1,_r=min(X,Y);
if(p[i]==2)
i++,i--;
while(_l<=_r){
ll _mid=(_l+_r)>>1;
if(T.Find(rt[l[p[i]]],1,cnt,_mid)<T.Find(rt[r[p[i]]],1,cnt,Y-_mid+1))
_l=_mid+1;
else _r=_mid-1;
}
ans[p[i]]+=s[l[p[i]]]-T.Ask(rt[l[p[i]]],1,cnt,_r);
ans[p[i]]+=s[r[p[i]]]+T.Ask(rt[r[p[i]]],1,cnt,Y)-T.Ask(rt[r[p[i]]],1,cnt,Y-_r);
}
}
return;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]),b[i]=a[i];
sort(b+1,b+1+n);cnt=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
for(ll i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+1+cnt,a[i])-b;
vector<ll> v;
for(ll i=1;i<=m;i++){
scanf("%lld%lld",&l[i],&r[i]);v.push_back(i);
if((r[i]-l[i]+1)&1)ans[i]+=b[a[r[i]]],r[i]--;
}
sort(v.begin(),v.end());
solve(1,n,v);
for(ll i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
