AT5147-[AGC036D]Negative Cycle【dp,模型转换】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT5147

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1|1题目大意

有$n$个点的一张图，其中$i\rightarrow i+1(i< n)$有一条边权值为$0$。

对于其他$i,j(i\neq j)$存在一条边$i\rightarrow j$，若$i<j$那么权值为$-1$，否则为$1$。

删除$i\rightarrow j(i\neq j)$的代价为$a_{i,j}$，要求代价最小的情况下使得图中不存在负环。

$1\leq n\leq 500$

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1|2解题思路

这个容易负环让人一头雾水不知道怎么维护，我们知道差分约束有解的条件就是没有负环，所以我们可以考虑转成差分约束模型。

那么对于不能删除的边$i\rightarrow i+1$就有限制$x_i\geq x_{i+1}$，也就是整个序列单调不升。

然后形如$i\rightarrow j(i<j)$可以视为$x_i-1\geq x_j$。
形如$i\leftarrow j(i<j)$可以视为$x_i\leq x_j+1$。

也就是$x_i-x_j\leq 1$和$x_i-x_j\geq 1$的限制，我们考虑维护差分数组（反过来的）$y_i=x_{i-1}-x_{i}$，那么条件就是区间和不能大于/小于$1$，显然的那么$y_i$就只有可能是$0/1$。

然后仔细观察这个限制会发现其实只有相邻的$1$会有用，我们考虑$dp$来处理，设$f_{i,j,k}$表示做到第$i$个，上一个$1$在$j$处，再上一个$1$在$k$处。

前缀和一下$a$数组优化转移即可。

时间复杂度：$O(n^3)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=510;
ll n,a[N][N],s[N][N],t[N][N],f[N][N],ans;
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			if(i==j)continue;
			scanf("%lld",&a[i][j]);
		}
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		for(ll j=1;j<=i;j++)
			s[i][j]=s[i][j-1]+a[j][i],
			t[i][j]=t[i][j-1]+a[i][j];
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	ans=f[0][0];f[1][1]=0;
	for(ll i=2;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<i;j++)
			for(ll k=1;k<=j-(j!=1);k++)
				f[i][j]=min(f[i][j],f[j][k]);
		for(ll j=1;j<=i;j++)
			for(ll k=1;k<=j-(j!=1);k++)
				f[j][k]+=s[i][i]-s[i][j-1],f[j][k]+=t[i][k-1];
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		for(ll j=1;j<=n;j++)
			ans=min(ans,f[i][j]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/16482557.html
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