P7739-[NOI2021]密码箱【Splay,矩阵乘法】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7739
题目描述
懒得概括，摸了。
Yelekastee 是 U 国著名的考古学家。在最近的一次考古行动中，他发掘出了一个远古时期的密码箱。经过周密而严谨的考证，Yelekastee 得知密码箱的密码和某一个数列 \(\{ a_n \}\) 相关。数列 \(\{ a_n \}\) 可以用如下方式构造出来：
- 初始时数列长度为 \(2\) 且有 \(a_0 = 0, a_1 = 1\)；
- 对数列依次进行若干次操作，其中每次操作是以下两种类型之一：
W类型：给数列的最后一项加 \(1\)。E类型：若数列的最后一项为 \(1\)，则给倒数第二项加 \(1\)；否则先给数列的最后一项减 \(1\)，接着在数列尾再加两项，两项的值都是 \(1\)。
受到技术限制，密码箱并没有办法完整检查整个数列，因此密码箱的密码设定为数列 \(\{ a_n \}\) 经过函数 \(f\) 作用后的值，其中 \(f\) 的定义如下：
Yelekastee 并不擅长运算，因此他找到了你，希望你能根据他提供的操作序列计算出密码箱的密码。不幸的是，他的记性并不是很好，因此他会随时对提供的操作序列做出一些修改，这些修改包括以下三种：
APPEND c，在现有操作序列后追加一次c类型操作，其中c为字符W或E。FLIP l r，反转现有操作序列中第 \(l\) 个至第 \(r\) 个（下标从 \(1\) 开始，修改包含端点 \(l\) 和 \(r\)，下同）操作，即所有W变为E，所有E变为W。REVERSE l r，翻转现有操作序列中第 \(l\) 个至第 \(r\) 个操作，也就是将这个区间中的操作逆序。
\(1\leq n,q\leq 10^5\)
解题思路
先考虑知道\(a\)序列怎么求答案，假设上一个传下来的是\(\frac{x}{y}\)，那么新的那个就是\(\frac{x'}{y'}=a_k+\frac{x}{y}=\frac{ya_k+x}{x}\)，那么有\(x'=ya_k+x,y'=x\)。
显然如果我们只是动态修改每一个\(a\)，那么上面这个转移可以用矩阵乘法维护。
但是我们现在的操作可能是让一些数\(+1\)和在数列后面\(+1\)。麻烦的是让一些数\(+1\)这个操作，我们考虑如果我们在末尾加入了一个\(1\)，那么转移\(x'=x+y,y'=x\)，如果让末尾的一个数加\(1\)，那么\(x'=x+y,y'=y\)。这样就可以直接考虑矩阵维护\(EW\)操作了，我们分别设上面两个操作的矩阵为\(H_A,H_B\)，我们求出一个\(G_A\times H_A=1,G_B\times H_B=1\)这样就可以取消掉前面的一些操作了。
然后考虑一下下面的操作怎么实现，设目前的矩阵乘积为\(M\)：
- 让末尾\(+1\)：\(M'=H_A\times H_B\times G_A\times M\)
- 让倒数第二个\(+1\)：注意到此时最后一个数字肯定是\(1\)，所以\(M'=H_A\times H_A\times H_B\times G_A\times G_A\times M\)
- 让最后一个数\(-1\)，然后在末尾加入两个\(1\)：\(M'=H_A\times H_A\times H_A\times G_B \times G_A\times M\)
然后我们会愉快的发现后两个和\(E\)有关的操作有\(H_A\times H_A\times H_B\times G_A\times G_A=H_A\times H_A\times H_A\times G_B \times G_A\)。
也就是其实\(E\)两种情况的操作乘上的都是同一个矩阵，那么用Splay维护即可，区间翻转和区间取反操作可以直接维护四个值，表示是否取反/翻转后的矩阵就行了。
至于输出\(x\%P,y\%P\)的\(gcd(x,y)\)为\(1\)的要求我们不用担心，因为上面的操作中\(x,y\)的\(gcd\)都是不会变的（因为\(gcd(x+y,x)=gcd(x,y)\)），所以无论怎样操作\(x,y\)都是互质的。
时间复杂度：\(O((n+q)\log n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=2e5+10,S=2,P=998244353;
int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
void print(int x)
{if(x>9)print(x/10);putchar('0'+x%10);}
struct Matrix{
int a[S][S];
}Ha,Hb,Ga,Gb,HA,HB,HC,O,c;
void add(int &x,int y)
{x=(x+y>=P)?(x+y-P):(x+y);}
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){
memset(c.a,0,sizeof(c.a));
for(int i=0;i<S;i++)
for(int j=0;j<S;j++)
for(int k=0;k<S;k++)
add(c.a[i][j],1ll*a.a[i][k]*b.a[k][j]%P);
return c;
}
struct node{
Matrix M,N;
void flp(){swap(M,N);return;}
}W,E,tmp;
int n,q,cnt,root;
char s[N];
struct PeTree{
node w[N],v[N],a[N];
int t[N][2],fa[N],siz[N];
bool r[N],u[N];
void PushUp(int x){
w[x]=v[x]=a[x];
if(t[x][1]){
w[x].M=w[t[x][1]].M*w[x].M;
v[x].M=v[x].M*v[t[x][1]].M;
w[x].N=w[t[x][1]].N*w[x].N;
v[x].N=v[x].N*v[t[x][1]].N;
}
if(t[x][0]){
w[x].M=w[x].M*w[t[x][0]].M;
v[x].M=v[t[x][0]].M*v[x].M;
w[x].N=w[x].N*w[t[x][0]].N;
v[x].N=v[t[x][0]].N*v[x].N;
}
siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;
return;
}
void PushR(int x)
{swap(t[x][0],t[x][1]);swap(w[x],v[x]);r[x]^=1;return;}
void PushU(int x)
{w[x].flp();v[x].flp();a[x].flp();u[x]^=1;return;}
void PushDown(int x){
if(r[x])PushR(t[x][0]),PushR(t[x][1]),r[x]=0;
if(u[x])PushU(t[x][0]),PushU(t[x][1]),u[x]=0;
return;
}
bool Direct(int x){return t[fa[x]][1]==x;}
void Rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y];
int xs=Direct(x),ys=Direct(y);
int w=t[x][xs^1];
if(z)t[z][ys]=x;
t[x][xs^1]=y;t[y][xs]=w;
if(w)fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
PushUp(y);PushUp(x);return;
}
void Downdata(int x,int f){
if(x==f)return;
Downdata(fa[x],f);
PushDown(x);
return;
}
void Splay(int x,int f){
if(!f)root=x;
Downdata(x,f);
while(fa[x]!=f){
int y=fa[x];
if(fa[y]==f)Rotate(x);
else if(Direct(x)==Direct(y))
Rotate(y),Rotate(x);
else Rotate(x),Rotate(x);
}
return;
}
int Find(int val,int x=root){
PushDown(x);
if(siz[t[x][0]]>=val)return Find(val,t[x][0]);
if(siz[t[x][0]]+1==val)return x;
return Find(val-siz[t[x][0]]-1,t[x][1]);
}
}T;
int power(int x,int b){
int ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=1ll*ans*x%P;
x=1ll*x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void Query(){
T.Splay(1,0);
T.Splay(n+2,1);
Matrix ans=T.w[T.t[n+2][0]].M;
int a=ans.a[0][0];
int b=ans.a[0][1];
swap(a,b);a+=b;
a=(a%P+P)%P;b=(b+P)%P;
print(b);putchar(' ');
print(a);putchar('\n');
}
signed main()
{
n=read();q=read();
O.a[0][0]=1;O.a[1][0]=0;
O.a[1][0]=0;O.a[1][1]=1;
Ha.a[0][0]=1;Ha.a[1][0]=1;
Ha.a[0][1]=0;Ha.a[1][1]=1;
Ga.a[0][0]=1;Ga.a[1][0]=P-1;
Ga.a[0][1]=0;Ga.a[1][1]=1;
Hb.a[0][0]=1;Hb.a[1][0]=1;
Hb.a[0][1]=1;Hb.a[1][1]=0;
Gb.a[0][0]=0;Gb.a[1][0]=1;
Gb.a[0][1]=1;Gb.a[1][1]=P-1;
HA=Hb*Ha*Gb;
HB=Hb*Hb*Ha*Gb*Gb;
HC=Hb*Hb*Hb*Ga*Gb;
W=(node){HA,HB};
E=(node){HB,HA};
scanf("%s",s+1);cnt=n+2;
T.t[1][1]=2;T.fa[n+2]=n+1;
for(int i=2;i<=n+1;i++){
if(s[i-1]=='W')T.a[i]=W;
else T.a[i]=E;
T.t[i][1]=i+1;
T.fa[i]=i-1;
}
for(int i=n+2;i>=1;i--)T.PushUp(i);
Query();int m=n;
while(q--){
char op[10];
scanf("%s",op);
if(op[0]=='A'){
scanf("%s",op);++cnt;
if(op[0]=='W')T.a[cnt]=W;
else T.a[cnt]=E;
int p=T.Find(m+1);
T.Splay(p,0);p=n+2;
T.fa[cnt]=p;T.t[p][0]=cnt;
T.PushUp(cnt);T.PushUp(p);++m;
}
else if(op[0]=='F'){
int l=read(),r=read();
l=T.Find(l);r=T.Find(r+2);
T.Splay(l,0);T.Splay(r,l);
T.PushU(T.t[r][0]);
T.Splay(T.t[r][0],0);
}
else if(op[0]=='R'){
int l=read(),r=read();
l=T.Find(l);r=T.Find(r+2);
T.Splay(l,0);T.Splay(r,l);
T.PushR(T.t[r][0]);
T.Splay(T.t[r][0],0);
}
Query();
}
return 0;
}
