P7739-[NOI2021]密码箱【Splay,矩阵乘法】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7739

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1|1题目描述

懒得概括，摸了。

Yelekastee 是 U 国著名的考古学家。在最近的一次考古行动中，他发掘出了一个远古时期的密码箱。经过周密而严谨的考证，Yelekastee 得知密码箱的密码和某一个数列 $\{ a_n \}$ 相关。数列 $\{ a_n \}$ 可以用如下方式构造出来：

1. 初始时数列长度为 $2$ 且有 $a_0 = 0, a_1 = 1$；
2. 对数列依次进行若干次操作，其中每次操作是以下两种类型之一：

• W 类型：给数列的最后一项加 $1$。
• E 类型：若数列的最后一项为 $1$，则给倒数第二项加 $1$；否则先给数列的最后一项减 $1$，接着在数列尾再加两项，两项的值都是 $1$。

受到技术限制，密码箱并没有办法完整检查整个数列，因此密码箱的密码设定为数列 $\{ a_n \}$ 经过函数 $f$ 作用后的值，其中 $f$ 的定义如下：

$$f(a_0, \ldots , a_{k - 1}, a_k) = \begin{cases} a_0, & k = 0 \\ f \! \left( a_0, a_1, \ldots , a_{k - 2}, a_{k - 1} + \frac{1}{a_k} \right) \! , & k \ge 1 \end{cases}$$

Yelekastee 并不擅长运算，因此他找到了你，希望你能根据他提供的操作序列计算出密码箱的密码。不幸的是，他的记性并不是很好，因此他会随时对提供的操作序列做出一些修改，这些修改包括以下三种：

• APPEND c，在现有操作序列后追加一次 c 类型操作，其中 c 为字符 W 或 E。
• FLIP l r，反转现有操作序列中第 $l$ 个至第 $r$ 个（下标从 $1$ 开始，修改包含端点 $l$ 和 $r$，下同）操作，即所有 W 变为 E，所有 E 变为 W。
• REVERSE l r，翻转现有操作序列中第 $l$ 个至第 $r$ 个操作，也就是将这个区间中的操作逆序。

$1\leq n,q\leq 10^5$

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1|2解题思路

先考虑知道$a$序列怎么求答案，假设上一个传下来的是$\frac{x}{y}$，那么新的那个就是$\frac{x'}{y'}=a_k+\frac{x}{y}=\frac{ya_k+x}{x}$，那么有$x'=ya_k+x,y'=x$。

显然如果我们只是动态修改每一个$a$，那么上面这个转移可以用矩阵乘法维护。

但是我们现在的操作可能是让一些数$+1$和在数列后面$+1$。麻烦的是让一些数$+1$这个操作，我们考虑如果我们在末尾加入了一个$1$，那么转移$x'=x+y,y'=x$，如果让末尾的一个数加$1$，那么$x'=x+y,y'=y$。这样就可以直接考虑矩阵维护$EW$操作了，我们分别设上面两个操作的矩阵为$H_A,H_B$，我们求出一个$G_A\times H_A=1,G_B\times H_B=1$这样就可以取消掉前面的一些操作了。

然后考虑一下下面的操作怎么实现，设目前的矩阵乘积为$M$：

1. 让末尾$+1$：$M'=H_A\times H_B\times G_A\times M$
2. 让倒数第二个$+1$：注意到此时最后一个数字肯定是$1$，所以$M'=H_A\times H_A\times H_B\times G_A\times G_A\times M$
3. 让最后一个数$-1$，然后在末尾加入两个$1$：$M'=H_A\times H_A\times H_A\times G_B \times G_A\times M$

然后我们会愉快的发现后两个和$E$有关的操作有$H_A\times H_A\times H_B\times G_A\times G_A=H_A\times H_A\times H_A\times G_B \times G_A$。

也就是其实$E$两种情况的操作乘上的都是同一个矩阵，那么用Splay维护即可，区间翻转和区间取反操作可以直接维护四个值，表示是否取反/翻转后的矩阵就行了。

至于输出$x\%P,y\%P$的$gcd(x,y)$为$1$的要求我们不用担心，因为上面的操作中$x,y$的$gcd$都是不会变的（因为$gcd(x+y,x)=gcd(x,y)$），所以无论怎样操作$x,y$都是互质的。

时间复杂度：$O((n+q)\log n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=2e5+10,S=2,P=998244353;
int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
void print(int x)
{if(x>9)print(x/10);putchar('0'+x%10);}
struct Matrix{
	int a[S][S];
}Ha,Hb,Ga,Gb,HA,HB,HC,O,c;
void add(int &x,int y)
{x=(x+y>=P)?(x+y-P):(x+y);}
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){
	memset(c.a,0,sizeof(c.a));
	for(int i=0;i<S;i++)
		for(int j=0;j<S;j++)
			for(int k=0;k<S;k++)
				add(c.a[i][j],1ll*a.a[i][k]*b.a[k][j]%P);
	return c;
}
struct node{
	Matrix M,N;
	void flp(){swap(M,N);return;}
}W,E,tmp;
int n,q,cnt,root;
char s[N];
struct PeTree{
	node w[N],v[N],a[N];
	int t[N][2],fa[N],siz[N];
	bool r[N],u[N];
	void PushUp(int x){
		w[x]=v[x]=a[x];
		if(t[x][1]){
			w[x].M=w[t[x][1]].M*w[x].M;
			v[x].M=v[x].M*v[t[x][1]].M;
			w[x].N=w[t[x][1]].N*w[x].N;
			v[x].N=v[x].N*v[t[x][1]].N;
		}
		if(t[x][0]){
			w[x].M=w[x].M*w[t[x][0]].M;
			v[x].M=v[t[x][0]].M*v[x].M;
			w[x].N=w[x].N*w[t[x][0]].N;
			v[x].N=v[t[x][0]].N*v[x].N;
		}
		siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;
		return;
	}
	void PushR(int x)
	{swap(t[x][0],t[x][1]);swap(w[x],v[x]);r[x]^=1;return;}
	void PushU(int x)
	{w[x].flp();v[x].flp();a[x].flp();u[x]^=1;return;}
	void PushDown(int x){
		if(r[x])PushR(t[x][0]),PushR(t[x][1]),r[x]=0;
		if(u[x])PushU(t[x][0]),PushU(t[x][1]),u[x]=0;
		return;
	}
	bool Direct(int x){return t[fa[x]][1]==x;}
	void Rotate(int x){
		int y=fa[x],z=fa[y];
		int xs=Direct(x),ys=Direct(y);
		int w=t[x][xs^1];
		if(z)t[z][ys]=x;
		t[x][xs^1]=y;t[y][xs]=w;
		if(w)fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
		PushUp(y);PushUp(x);return;
	}
	void Downdata(int x,int f){
		if(x==f)return;
		Downdata(fa[x],f);
		PushDown(x);
		return;
	} 
	void Splay(int x,int f){
		if(!f)root=x;
		Downdata(x,f);
		while(fa[x]!=f){
			int y=fa[x];
			if(fa[y]==f)Rotate(x);
			else if(Direct(x)==Direct(y))
				Rotate(y),Rotate(x);
			else Rotate(x),Rotate(x);
		}
		return;
	}
	int Find(int val,int x=root){
		PushDown(x);
		if(siz[t[x][0]]>=val)return Find(val,t[x][0]);
		if(siz[t[x][0]]+1==val)return x;
		return Find(val-siz[t[x][0]]-1,t[x][1]);
	}
}T;
int power(int x,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=1ll*ans*x%P;
		x=1ll*x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void Query(){
	T.Splay(1,0);
	T.Splay(n+2,1);
	Matrix ans=T.w[T.t[n+2][0]].M;
	int a=ans.a[0][0];
	int b=ans.a[0][1];
	swap(a,b);a+=b;
	a=(a%P+P)%P;b=(b+P)%P;
	print(b);putchar(' ');
	print(a);putchar('\n');
}
signed main()
{
	n=read();q=read();
	
	O.a[0][0]=1;O.a[1][0]=0;
	O.a[1][0]=0;O.a[1][1]=1;
	
	Ha.a[0][0]=1;Ha.a[1][0]=1;
	Ha.a[0][1]=0;Ha.a[1][1]=1;
	
	Ga.a[0][0]=1;Ga.a[1][0]=P-1;
	Ga.a[0][1]=0;Ga.a[1][1]=1;
	
	Hb.a[0][0]=1;Hb.a[1][0]=1;
	Hb.a[0][1]=1;Hb.a[1][1]=0;
	
	Gb.a[0][0]=0;Gb.a[1][0]=1;
	Gb.a[0][1]=1;Gb.a[1][1]=P-1;
	
	HA=Hb*Ha*Gb;
	HB=Hb*Hb*Ha*Gb*Gb;
	HC=Hb*Hb*Hb*Ga*Gb;
	
	W=(node){HA,HB};
	E=(node){HB,HA};
	
	scanf("%s",s+1);cnt=n+2;
	T.t[1][1]=2;T.fa[n+2]=n+1;
	for(int i=2;i<=n+1;i++){
		if(s[i-1]=='W')T.a[i]=W;
		else T.a[i]=E;
		T.t[i][1]=i+1;
		T.fa[i]=i-1;
	}
	for(int i=n+2;i>=1;i--)T.PushUp(i);
	Query();int m=n;
	while(q--){
		char op[10];
		scanf("%s",op);
		if(op[0]=='A'){
			scanf("%s",op);++cnt;
			if(op[0]=='W')T.a[cnt]=W;
			else T.a[cnt]=E;
			int p=T.Find(m+1);
			T.Splay(p,0);p=n+2;
			T.fa[cnt]=p;T.t[p][0]=cnt;
			T.PushUp(cnt);T.PushUp(p);++m;
		}
		else if(op[0]=='F'){
			int l=read(),r=read();
			l=T.Find(l);r=T.Find(r+2);
			T.Splay(l,0);T.Splay(r,l);
			T.PushU(T.t[r][0]);
			T.Splay(T.t[r][0],0);
		}
		else if(op[0]=='R'){
			int l=read(),r=read();
			l=T.Find(l);r=T.Find(r+2);
			T.Splay(l,0);T.Splay(r,l);
			T.PushR(T.t[r][0]);
			T.Splay(T.t[r][0],0);
		}
		Query();
	}
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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