CF1276F-Asterisk Substrings【SAM,线段树合并】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1276F
题目大意
给出一个长度为\(n\)的字符串\(S\)，现在依次进行如下操作
- 取出\(S\)的一个子串\(T\)。
- 将\(T\)中的一个字符替换成\(*\)号（也可以不替换）
求最后有多少种不同的\(T\)。
解题思路
发现最终其实只有4种情况，\(T,T*,*T,T_1*T_2\)。
前面三种很好记录，主要考虑最后一种。
对于\(T_1\)来说，同一个\(endpos\)等价类中的子串对应的\(T_2\)数量应该也是相同的。
那我们肯定是先建一个\(SAM\)这样就可以知道每个\(endpos\)等价类了。
那么考虑怎么统计\(T_2\)的数量，其实对应\(i\)在某个\(endpos\)里，那么我们就只需要考虑从\(i+2\)这些位置开始的不同串的数量。
也就是确定起始位置的子串，这提醒我们反着再建立一个\(SAM\)，然后把所有\(i+2\)位置的点标记了，这些点和根在\(fail\)树上的虚树路径长度和就是我们要知道的答案。
那么怎么维护这个东西呢，我们在正着的\(SAM\)上每个点维护一个线段树，然后统计反着的\(SAM\)上的链并长度，这个显然是可以用线段树合并的。
时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)（如果肯写\(O(1)\)LCA的话可以做到\(O(n\log n)\)）
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,M=N<<5;
struct SAM{
ll cnt,last,len[N],pos[N],fa[N],ch[N][26];
void Ins(ll c,ll id){
ll p=last,np=last=++cnt;
len[np]=len[p]+1;pos[id]=np;
for(;p&&!ch[p][c];p=fa[p])ch[p][c]=np;
if(!p)fa[np]=1;
else{
ll q=ch[p][c];
if(len[p]+1==len[q])fa[np]=q;
else{
ll nq=++cnt;len[nq]=len[p]+1;
memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[nq]));
fa[nq]=fa[q];fa[q]=fa[np]=nq;
for(;p&&ch[p][c]==q;p=fa[p])ch[p][c]=nq;
}
}
return;
}
}Suf,Pre;
struct node{
ll to,next;
}a[N];
ll n,m,tot,cnt,ls[N],siz[N],dep[N],rt[N];
ll dfn[N],rfn[N],son[N],top[N],ans=2;
char s[N];
void addl(ll x,ll y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;return;
}
void dfs1(ll x){
siz[x]=1;
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;dep[y]=dep[x]+1;
dfs1(y);siz[x]+=siz[y];
if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;
}
return;
}
void dfs2(ll x){
dfn[++cnt]=x;rfn[x]=cnt;
if(son[x]){
top[son[x]]=top[x];
dfs2(son[x]);
}
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(y==son[x])continue;
top[y]=y;dfs2(y);
}
return;
}
ll LCA(ll x,ll y){
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
x=Suf.fa[top[x]];
}
return (dep[x]<dep[y])?x:y;
}
struct SegTree{
ll cnt,ls[M],rs[M],w[M],pl[M],pr[M];
void Merge(ll x){
if(!ls[x]||!rs[x]){
ll p=ls[x]|rs[x];
w[x]=w[p];pl[x]=pl[p];pr[x]=pr[p];
}
else{
w[x]=w[ls[x]]+w[rs[x]]-Suf.len[LCA(pr[ls[x]],pl[rs[x]])];
pl[x]=pl[ls[x]];pr[x]=pr[rs[x]];
}
return;
}
void Change(ll &x,ll L,ll R,ll pos){
if(!x)x=++cnt;
if(L==R){w[x]=Suf.len[dfn[L]];pl[x]=pr[x]=dfn[L];return;}
ll mid=(L+R)>>1;
if(pos<=mid)Change(ls[x],L,mid,pos);
else Change(rs[x],mid+1,R,pos);
Merge(x);return;
}
ll Merge(ll x,ll y,ll L,ll R){
if(!x||!y)return x|y;
ll mid=(L+R)>>1;
ls[x]=Merge(ls[x],ls[y],L,mid);
rs[x]=Merge(rs[x],rs[y],mid+1,R);
Merge(x);return x;
}
}T;
void solve(ll x){
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
solve(y);rt[x]=T.Merge(rt[x],rt[y],1,cnt);
}
ans+=T.w[rt[x]]*(Pre.len[x]-Pre.len[Pre.fa[x]]);
return;
}
signed main()
{
scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
Pre.last=Pre.cnt=Suf.last=Suf.cnt=1;
for(ll i=n;i>1;i--)Suf.Ins(s[i]-'a',i);
for(ll i=1;i<n;i++)Pre.Ins(s[i]-'a',i);
for(ll i=1;i<=Pre.cnt;i++)ans+=Pre.len[i]-Pre.len[Pre.fa[i]];
for(ll i=1;i<=Suf.cnt;i++)ans+=Suf.len[i]-Suf.len[Suf.fa[i]];
Suf.Ins(s[1]-'a',1);Pre.Ins(s[n]-'a',n);
for(ll i=2;i<=Suf.cnt;i++)addl(Suf.fa[i],i),ans+=Suf.len[i]-Suf.len[Suf.fa[i]];
dfs1(1);top[1]=1;dfs2(1);
tot=0;memset(ls,0,sizeof(ls));
for(ll i=2;i<=Pre.cnt;i++)addl(Pre.fa[i],i);
for(ll i=1;i<n-1;i++)
T.Change(rt[Pre.pos[i]],1,cnt,rfn[Suf.pos[i+2]]);
solve(1);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
