P6803-[CEOI2020]星际迷航【博弈论,dp,矩阵乘法】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6803
题目大意
给出一棵\(n\)个点的树，把它复制出\(D+1\)层，编号为\([0,D]\)，然后每一层随机一个点向下一层随机一个点连边。
然后从第\(0\)层的\(1\)号点出发，两个人轮流操作走向一个之前没有走过的点，求有多少种连边方案使得先手必胜。
\(1\leq n\leq 10^5,1\leq D\leq 10^{18}\)
解题思路
我们先只考虑连到下一层的那个点是必胜还是必败的。
显然，连接的下一层的点如果是必胜的，那么局面不会有任何改变。而如果连接的是必败的点，那么原本必败的情况就会变成必胜的情况。
考虑对于每个点算出\(G_{x,0/1}\)表示从\(x\)出发的情况，如果连接的下层点必败，这一层有多少种连边情况会先手必胜/先手必败。
这个东西虽然比较麻烦，但是可以通过换根\(dp\)求出。
然后把所有点的求个和得到\(S_{0,0/1}\)表示下一层连接先手必败的点，这一层得到胜/负的方案。
同样的通过每一个点为根时树的胜负情况得到\(S_{1,0/1}\)表示下一层连接先手必胜的点（局面不会改变），这一层得到胜/负的方案。
这样做\(D\)层我们就可以直接矩阵乘法了。
时间复杂度：\(O(n+\log D)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,S=2,P=1e9+7;
struct Matrix{
ll a[S][S];
}s,ans,c;
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){
memset(c.a,0,sizeof(c.a));
for(ll i=0;i<S;i++)
for(ll j=0;j<S;j++)
for(ll k=0;k<S;k++)
(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%P)%=P;
return c;
}
struct node{
ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,d,tot,ls[N],g[N][2];
bool f[N];vector<ll> q[N];
void addl(ll x,ll y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll fa){
ll p=0;
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(y==fa)continue;
dfs(y,x);f[x]|=!f[y];
if(!f[y])p=(p?-1:y);
g[x][1]+=g[y][0];
g[x][0]+=g[y][1];
}
if(p==-1)g[x][1]+=g[x][0];
else if(p>0)g[x][1]+=g[x][0]-g[p][1];
if(p==-1)g[x][0]=0;
else if(p>0)g[x][0]=g[p][1];
g[x][1]++;
return;
}
void solve(ll x,ll fa,ll p,ll s0,ll s1){
if(!p)q[x].push_back(fa);
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(y==fa)continue;
if(!f[y]&&q[x].size()<3)q[x].push_back(y);
s0+=g[y][1];s1+=g[y][0];
}
if(!q[x].size())p=0;
else if(q[x].size()==1)p=q[x][0];
else p=-1;
int pg0=g[x][0],pg1=g[x][1];
g[x][0]=s0,g[x][1]=s1;
if(p==-1)g[x][1]+=g[x][0],g[x][0]=0;
else if(p>0)g[x][1]+=g[x][0]-g[p][1],g[x][0]=g[p][1];
g[x][1]++;ll _f=(p?1:0);ans.a[0][_f]++;
s.a[0][0]+=g[x][0];s.a[0][1]+=g[x][1];
s.a[1][0]+=(!_f)*n;s.a[1][1]+=_f*n;
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(y==fa)continue;
if(!q[x].size())p=0;
else if(q[x].size()==1){
if(q[x][0]==y)p=0;
else p=q[x][0];
}
else if(q[x].size()==2){
if(q[x][0]==y)p=q[x][1];
else if(q[x][1]==y)p=q[x][0];
else p=-1;
}
else p=-1;
g[x][0]=s0-g[y][1];g[x][1]=s1-g[y][0];
if(p==-1)g[x][1]+=g[x][0],g[x][0]=0;
else if(p>0)g[x][1]+=g[x][0]-g[p][1],g[x][0]=g[p][1];
g[x][1]++;solve(y,x,p?1:0,g[x][1],g[x][0]);
}
g[x][0]=pg0;g[x][1]=pg1;return;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&d);
for(ll i=1,x,y;i<n;i++){
scanf("%lld%lld",&x,&y);
// x=i+1;y=(i+1)/2;
addl(x,y);addl(y,x);
}
dfs(1,0);
ll A=g[1][1];
solve(1,0,1,0,0);
s.a[0][0]%=P;s.a[0][1]%=P;
s.a[1][0]%=P;s.a[1][1]%=P;
d--;
while(d){
if(d&1)ans=ans*s;
s=s*s;d>>=1;
}
ll answer=A*ans.a[0][0]%P;
(answer+=f[1]*n*ans.a[0][1]%P)%=P;
printf("%lld\n",answer);
return 0;
}
