P8329-[ZJOI2022]树【容斥,dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P8329

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题目大意

有两棵\(n\)个点的有根树。

• 第一棵根为\(1\)，第\(i\)个点的父亲在\([1,i-1]\)中。
• 第二棵根为\(n\)，第\(i\)个点的父亲在\([i+1,n]\)中。
• 每个点都恰好在一棵树中作为叶子。

求方案数对\(m\)取模

\(2\leq n\leq 500,10\leq m\leq 2^{30}\)

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解题思路

考虑指定叶子的计数很难，对于一棵树都需要三维，但是我们可以通过钦定一些点必定是叶子，这样的话\(dp\)状态二维+容斥就能做到。

先考虑表示第一棵树的状态，这很简单，记\(f_{i,j}\)表示做到第\(i\)个点，前面有\(j\)个点必定不是叶子。

然后考虑表示第二棵树的状态，因为我们是正着做过去的所以状态倒着记录，记\(f_{i,j,k}\)表示做到第\(i\)个点，第一棵树上前面有\(j\)个叶子，第二棵树上后面有\(k\)个叶子时的答案。

注意因为我们是要容斥的，所以每钦定一个叶子要乘上一个容斥系数\((-1)\)。

然后我们对于每个位置至少钦定一棵树上的叶子，发现这样写显然是错的，因为我们只是钦定肯定是叶子的位置，但是有的位置任然可能产生两棵树上都是叶子的点。

对于这个我们也做容斥，我们可以钦定一个节点两棵树上都是叶子，那这样就要乘上容斥系数\((-1)\times (-1)\times 2\)（这个\(2\)是因为原本的叶子在两棵树上都有可能）。

时间复杂度：\(O(n^3)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
int n,P,f[N][N][N],ans[N];
signed main()
{
	scanf("%d%d",&n,&P);
	for(int i=0;i<=n;i++)f[0][0][i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<i;j++)
			for(int k=0;k<=n;k++){
				if(i==1)(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]*k%P)%=P;
				else{
					if(j){
						(f[i][j][k]+=1ll*f[i-1][j-1][k+1]*(i-j)*k%P)%=P;
						(f[i][j][k]-=2ll*f[i-1][j-1][k]*(i-j)*k%P)%=P;
					}
					(f[i][j][k]+=1ll*f[i-1][j][k]*(i-1-j)*k%P)%=P;
				}
				if(j&&!k)(ans[i]+=1ll*f[i-1][j-1][k+1]*(i-j)%P)%=P;
			}
	for(int i=2;i<=n;i++)
		printf("%d\n",(ans[i]+P)%P);
	return 0;
}