AT2293-[AGC009D] Uninity【贪心,状压】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2293
题目大意
给出一棵树,求它一棵点分树的最小深度。
\(1\leq n\leq 10^5\)
解题思路
点分树的做法是直接找重心,但是两个重心我们很难确定找哪个,所以这个方法行不通。
但是这样我们大概能确定答案的上界是\(\log n\)级别的。考虑我们记每个点的点分子树深度\(d_i\),那么\(d_i\)肯定满足对于一对深度相同的\((x,y)\),它们的路径上肯定存在一个点\(z\)满足\(d_z>d_x,d_z>d_y\)。
那么同样的,如果我们得到一个满足这个条件的数组\(d\),我们也能构造出一棵合法的点分树,所以我们的目的就是要最小化\(d\)的值。
考虑一个构造方法,对于一个节点\(x\)的深度\(p\),首先如果它的儿子中有深度为\(p\)的点那么显然不合法,如果存在一个在它不同子树中的节点\(y\)的深度\(\geq p\),并且\(x\leftrightarrow y\)路径上节点深度都不超过\(p\),那么显然也不合法。
显然上面这两个条件我们可以用状压搞定。
但是这样构造为什么是合法的呢?我也不知道,只能感性证明一下。能发现我们的操作中如果一个节点\(x\)选择了深度\(p\),那么它往上的限制中所有深度\(<p\)的限制都会被打开,也就是说实际上选择更大的深度并不会放松后面的限制,所以选最小的更优。
时间复杂度:\(O(n\log n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{
int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,ls[N],f[N],ans;
void addl(int x,int y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){
int p=0,s=0;
for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
int y=a[i].to;
if(y==fa)continue;
dfs(y,x);
for(int j=30;j>=0;j--)
if(s&f[y]&(1<<j))
{p=max(p,j+1);break;}
s|=f[y];
}
while((s>>p)&1)p++;
ans=max(ans,p);
f[x]=s|((1<<p+1)-1);
f[x]=f[x]^((1<<p)-1);
return;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1,x,y;i<n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
addl(x,y);addl(y,x);
}
dfs(1,0);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}