P5044-[IOI2018] meetings 会议【dp,笛卡尔树,线段树二分】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5044
题目大意
给出一个长度为\(n\)的序列\(h\)，定义\(dis(x,y)=max\{h_i\}(x\leq i\leq y)\)。
\(q\)次询问给出一个区间\([L,R]\)，找到一个\(x\in[L,R]\)，最小化\(\sum_{i=L}^Rdis(i,x)\)的值。
\(1\leq n,q\leq 750000,1\leq h_i\leq 10^9\)
解题思路
先考虑暴力的做法，记\(f_{l,r}\)表示区间\([l,r]\)的答案，那么我们找出\([l,r]\)的任意一个最大值的位置\(x\)，要么是左边跨过这个值要么是右边跨过这个值，也就是
\[f_{l,r}=min\{f_{l,x-1}+(r-x+1)\times h_x,f_{x+1,r}+(x-l+1)\times h_x\}
\]
考虑怎么优化这个转移，因为关系到这个区间的最大值，所以我们考虑在笛卡尔树上计算答案。
对于每个询问\([L,R]\)，我们先找到这个区间的最大值\(x\)把它拆分成\([L,x]\)和\([x,R]\)的询问。
先考虑形如\([x,R]\)这一部分的询问，因为这一部分都满足最大值在最左边。
对于每个笛卡尔树上的节点\(mid\)，记它的区间\([l,r]\)，我们考虑维护所有的\(f_{l,x}\)其中\(x\in[l,r]\)。
那么我们怎么转移这个东西
- 对于\(x\in[l,mid-1]\)，\(f_{l,x}\)代表的意义不变。
- 对于\(x=mid\)，\(f_{l,mid}=f_{l,mid-1}+h_{mid}\)，因为\(mid\)是最高点，在这个点聚合显然不合适。
- 对于\(x\in[mid+1,r]\)，\(f_{l,x}=min\{f_{l,mid}+h_{mid}\times (x-mid),f_{mid+1,x}+h_{mid}\times (mid-l+1)\}\)
麻烦的是后面那个东西，我们考虑在线段树上维护所有的\(f_{?,x}\)（\(?\)根据处理到的节点改变）。
然后发现\(f_{l,mid}+h_{mid}\times (x-mid)\)根据\(x\)的变化稳定增加\(h_{mid}\)，而\(f_{mid+1,x}+h_{mid}\times (mid-l+1)\)这个玩意每次的增量是\(f_{mid+1,x}-f_{mid+1,x-1}\)，显然是不会超过\(h_{mid}\)的。
所以选择它们两个的决策之间存在一个交点，我们可以二分这个位置。考虑这个加等差序列和区间推平操作都是要在线段树上搞的，所以我们直接顺手在线段树上二分就好了，因为这个的原因我们要记录一下左端点和右端点的权值。
时间复杂度：\(O(\ (n+q)\log n\ )\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=760000;
struct node{
ll r,w,id;
};
ll n,m,lg[N],h[N],f[N][20],ans[N];
ll ql[N],qr[N];vector<node> q[N];
struct SegTree{
#define M N<<2
ll w[M],k[M],c[M],wl[M],wr[M];
void Clear(){
memset(w,0,sizeof(w));
memset(wl,0,sizeof(wl));
memset(wr,0,sizeof(wr));
memset(k,0,sizeof(k));
memset(c,0,sizeof(c));
}
void Setw(ll x,ll val){
w[x]=wl[x]=wr[x]=val;
k[x]=c[x]=0;return;
}
void Setk(ll x,ll val){
wl[x]+=val;wr[x]+=val;
k[x]+=val;return;
}
void Downdata(ll x,ll L,ll R){
if(w[x]>0)Setw(x*2,w[x]),Setw(x*2+1,w[x]),w[x]=-1;
if(k[x])Setk(x*2,k[x]),Setk(x*2+1,k[x]),k[x]=0;
if(c[x]){
ll mid=(L+R)>>1;k[x*2+1]+=c[x]*(mid-L+1);
wr[x*2]+=c[x]*(mid-L);wl[x*2+1]+=c[x]*(mid-L+1);
wr[x*2+1]+=c[x]*(R-L);c[x*2]+=c[x];c[x*2+1]+=c[x];
c[x]=0;
}
return;
}
void Change(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,ll val){
if(L==l&&R==r){Setw(x,val);return;}
ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x,L,R);
if(r<=mid)Change(x*2,L,mid,l,r,val);
else if(l>mid)Change(x*2+1,mid+1,R,l,r,val);
else Change(x*2,L,mid,l,mid,val),Change(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,val);
wl[x]=wl[x*2];wr[x]=wr[x*2+1];return;
}
void Update(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,ll ks,ll cs){
if(L==l&&R==r){Setk(x,ks);c[x]+=cs;wr[x]+=(R-L)*cs;return;}
ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x,L,R);
if(r<=mid)Update(x*2,L,mid,l,r,ks,cs);
else if(l>mid)Update(x*2+1,mid+1,R,l,r,ks,cs);
else Update(x*2,L,mid,l,mid,ks,cs),Update(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,ks,cs);
wl[x]=wl[x*2];wr[x]=wr[x*2+1];return;
}
ll Ask(ll x,ll L,ll R,ll pos){
if(L==R)return wr[x];
ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x,L,R);
if(pos<=mid)return Ask(x*2,L,mid,pos);
return Ask(x*2+1,mid+1,R,pos);
}
void Solve(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,ll k1,ll b1,ll b2){
if(L==l&&R==r){
if(b1>=wl[x]+b2)
{Setk(x,b2);return;}
if(k1*(R-L)+b1<=wr[x]+b2){
Setw(x,b1);
wr[x]+=k1*(R-L);c[x]+=k1;
return;
}
}
ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x,L,R);
if(r<=mid)Solve(x*2,L,mid,l,r,k1,b1,b2);
else if(l>mid) Solve(x*2+1,mid+1,R,l,r,k1,b1,b2);
else Solve(x*2,L,mid,l,mid,k1,b1,b2),
Solve(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,k1,b1+k1*(mid-l+1),b2);
wl[x]=wl[x*2];wr[x]=wr[x*2+1];return;
}
#undef M
}T;
ll RMQ(ll l,ll r){
ll z=lg[r-l+1];
l=f[l][z];r=f[r-(1<<z)+1][z];
return (h[l]<h[r])?r:l;
}
void solve(ll L,ll R){
if(L>R)return;
ll x=RMQ(L,R);
solve(L,x-1);
solve(x+1,R);
for(ll i=0;i<q[x].size();i++)
ans[q[x][i].id]=min(ans[q[x][i].id],q[x][i].w+T.Ask(1,1,n,q[x][i].r));
ll f=(x>L)?T.Ask(1,1,n,x-1):0;
f+=h[x];T.Change(1,1,n,x,x,f);
if(x<R)T.Solve(1,1,n,x+1,R,h[x],f+h[x],(x-L+1)*h[x]);
return;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(ll i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&h[i]),f[i][0]=i;
memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
for(ll j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(ll i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
ll a=f[i][j-1],b=f[i+(1<<j-1)][j-1];
f[i][j]=(h[a]<h[b])?b:a;
}
for(ll i=1;i<=m;i++){
scanf("%lld%lld",&ql[i],&qr[i]);
ql[i]++;qr[i]++;ll x=RMQ(ql[i],qr[i]);
q[x].push_back((node){qr[i],(x-ql[i]+1)*h[x],i});
}
solve(1,n);
reverse(h+1,h+1+n);
for(ll i=1;i<=n;i++)q[i].clear();
for(ll j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(ll i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
ll a=f[i][j-1],b=f[i+(1<<j-1)][j-1];
f[i][j]=(h[a]<h[b])?b:a;
}
for(ll i=1;i<=m;i++){
ql[i]=n-ql[i]+1;qr[i]=n-qr[i]+1;
swap(ql[i],qr[i]);ll x=RMQ(ql[i],qr[i]);
q[x].push_back((node){qr[i],(x-ql[i]+1)*h[x],i});
}
T.Clear();solve(1,n);
for(ll i=1;i<=m;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
