CF1654F-Minimal String Xoration【倍增】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1654F

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题目大意

给出一个长度为\(2^n\)的字符串\(s\)（下标为\(0\sim 2^n-1\)）

你要找到一个\(x\)满足\(t_{i}=s_{i\ xor\ x}\)，并且\(t\)的字典序最小。

\(1\leq n\leq 18\)

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解题思路

考虑设\(f(i,x)\)表示选的值为\(x\)时，最终的\(t\)的前\(2^i\)个字符。

那么我们有

\[f(i,x)=f(i-1,x)+f(i-1,x\ xor\ 2^{i-1}) \]

（就是和另一边拼起来）

发现这个部分和\(SA\)的有点像，我们考虑倍增来做，枚举这个\(i\)。

假设我们已经得到所有\(f(i-1,x)\)的排名，那么当我们比较\(f(i,x)\)和\(f(i,y)\)时，优先比较\(f(i-1,x)\)和\(f(i-1,y)\)，如果相等那么比较\(f(i-1,x\ xor\ 2^{i-1})\)和\(f(i-1,y\ xor\ 2^{i-1})\)即可。

然后我们又可以\(O(1)\)比较然后\(O(2^nn)\)得出新的\(i\)的所有\(f(i,x)\)的排名。

时间复杂度：\(O(2^nn^2)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<18;
int n,m,r,p[N],a[N],b[N];
char s[N];
bool cmp(int x,int y){
	if(a[x]==a[y])return a[x^r]<a[y^r];
	return a[x]<a[y];
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);m=(1<<n); 
	scanf("%s",s);
	for(int i=0;i<m;i++)p[i]=i;
	for(int i=0;i<m;i++)a[i]=s[i]-'a';
	sort(p,p+m,cmp);
	for(int i=0;i<n;i++){
		r=1<<i;
		sort(p,p+m,cmp);b[p[0]]=1;
		for(int j=1;j<m;j++)
			b[p[j]]=b[p[j-1]]+cmp(p[j-1],p[j]);
		for(int j=0;j<m;j++)a[j]=b[j];
	}
	for(int i=0;i<m;i++)
		printf("%c",s[i^p[0]]);
	return 0;
}