CF1369F-BareLee【博弈论,SG函数】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1369F

---

题目大意

\(T\)次游戏，每次给出一个\(s\)和\(t\)，两个人轮流操作，可以让\(s=s+1\)或者\(s=s\times 2\)，如果\(s>t\)的话那个人就输了。

每次输的人将作为下一次的先手，最后一把决定胜负。

求第一次先手的人是否有必胜/必败策略。

\(1\leq s\leq t\leq 10^{18},1\leq T\leq 10^5\)

---

解题思路

先考虑一把里面是否有必胜策略，考虑用\(SG\)函数去求，因为我们只需要维护\(SG\)为\(0\)和不为\(0\)的信息就好了。

如果一个状态不能走到任何\(0\)状态那么这个节点就是\(0\)状态，为了方便，后面的\(SG=2\)都视为\(SG=1\)。

首先\(\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+1\sim t\)这个范围中因为\(\times 2\)用不了，所以这个范围肯定是\(01\)交错的。

然后考虑从\(\frac{t}{2}\)开始往前每个状态都会额外指向一个乘二后的值，如果也就是前面\(01\)交错中每次跳两个，所以要么指向的都是\(0\)要么指向的都是\(1\)，如果指向的都是\(0\)，那么后面就有一段都是\(1\)，否则如果指向的是\(1\)显然不会产生影响，依旧是\(01\)交错。

然后让\(t\)继续除二，然后考虑如果后面是连续\(1\)段我们不需要考虑任何东西，如果后面是\(01\)交错就继续按照前面的做，直到到这段包括\(s\)我们就可以得到\(s\)的\(SG\)值了。

然后考虑必败，最后一步肯定是\(\times 2\)，所以我们直接让\(t=\lfloor\frac{t}{2}\rfloor\)，然后看是否必胜，这就是能否必败的答案了。

然后反过来\(dp\)一次就可以得到答案了。

时间复杂度：\(O(T\log t)\)

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,p[N][2],f[N][2];
bool check(ll s,ll t){
	bool now=0,k=0;ll r=t;
	while(t/2>=s){
		if(now)now=0,r=t/2;
		else now=k^!(t&1);
		t/=2;k=(r-t)&1;
	}
	return now|((r-s)&1);
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1,s,t;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&s,&t);
		p[i][0]=check(s,t);
		if(t/2>=s)p[i][1]=check(s,t/2);
		else p[i][1]=1;
	}
	f[n][0]=p[n][0];f[n][1]=p[n][1];
	for(ll i=n-1;i>=1;i--){
		f[i][0]=(f[i+1][0]&p[i][1])|((!f[i+1][0])&p[i][0]);
		f[i][1]=(f[i+1][1]&p[i][1])|((!f[i+1][1])&p[i][0]);
	}
	printf("%lld %lld\n",f[1][0],f[1][1]);
	return 0;
}