CF1369F-BareLee【博弈论,SG函数】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1369F

---

1|1题目大意

$T$次游戏，每次给出一个$s$和$t$，两个人轮流操作，可以让$s=s+1$或者$s=s\times 2$，如果$s>t$的话那个人就输了。

每次输的人将作为下一次的先手，最后一把决定胜负。

求第一次先手的人是否有必胜/必败策略。

$1\leq s\leq t\leq 10^{18},1\leq T\leq 10^5$

---

1|2解题思路

先考虑一把里面是否有必胜策略，考虑用$SG$函数去求，因为我们只需要维护$SG$为$0$和不为$0$的信息就好了。

如果一个状态不能走到任何$0$状态那么这个节点就是$0$状态，为了方便，后面的$SG=2$都视为$SG=1$。

首先$\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+1\sim t$这个范围中因为$\times 2$用不了，所以这个范围肯定是$01$交错的。

然后考虑从$\frac{t}{2}$开始往前每个状态都会额外指向一个乘二后的值，如果也就是前面$01$交错中每次跳两个，所以要么指向的都是$0$要么指向的都是$1$，如果指向的都是$0$，那么后面就有一段都是$1$，否则如果指向的是$1$显然不会产生影响，依旧是$01$交错。

然后让$t$继续除二，然后考虑如果后面是连续$1$段我们不需要考虑任何东西，如果后面是$01$交错就继续按照前面的做，直到到这段包括$s$我们就可以得到$s$的$SG$值了。

然后考虑必败，最后一步肯定是$\times 2$，所以我们直接让$t=\lfloor\frac{t}{2}\rfloor$，然后看是否必胜，这就是能否必败的答案了。

然后反过来$dp$一次就可以得到答案了。

时间复杂度：$O(T\log t)$

---

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,p[N][2],f[N][2];
bool check(ll s,ll t){
	bool now=0,k=0;ll r=t;
	while(t/2>=s){
		if(now)now=0,r=t/2;
		else now=k^!(t&1);
		t/=2;k=(r-t)&1;
	}
	return now|((r-s)&1);
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1,s,t;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&s,&t);
		p[i][0]=check(s,t);
		if(t/2>=s)p[i][1]=check(s,t/2);
		else p[i][1]=1;
	}
	f[n][0]=p[n][0];f[n][1]=p[n][1];
	for(ll i=n-1;i>=1;i--){
		f[i][0]=(f[i+1][0]&p[i][1])|((!f[i+1][0])&p[i][0]);
		f[i][1]=(f[i+1][1]&p[i][1])|((!f[i+1][1])&p[i][0]);
	}
	printf("%lld %lld\n",f[1][0],f[1][1]);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/16049128.html
关于博主：退役OIer，GD划水选手
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！