CF1039E-Summer Oenothera Exhibition【LCT,根号分治】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1039E
题目大意
给出\(n\)个数的序列，\(m\)次询问至少将这个序列分成多少段才能满足每一段的和不超过\(w-q_i\)。
\(1\leq n,m\leq 10^5,1\leq w,a_i\leq 10^9\)
解题思路
考虑暴力的做法，我们可以每次走到必须要分段时才分段显然是正确的。
根据\(w-q_i\)从小到大来做，设\(t_i\)表示以\(i\)为左端点时，最长能分到的区间长度\(t_i\)，那么我们从\(i\)就能直接到达\(i+t_i\)。
那么我们从\(1\)出发一直往右跳看跳的次数就可以了，这个和[HNOI2010]弹飞绵羊很像，考虑用\(LCT\)去维护。
不过这个\(t_i\)是可能每次都在改变的，所以不能只靠这样来做，但是注意到\(i\)每次会直接跳过\(t_i-1\)个位置，我们不需要统计全局的值。
所以我们考虑根号分治，对于一个\(T=\sqrt n\)，我们当\(t_i\leq T\)时我们在\(LCT\)上条，当\(t_i>T\)时我们直接暴力跳。
同样的我们不需要去维护这些\(>T\)的\(t_i\)，而是到达这些位置时直接二分下一个位置即可。
用一个堆去存\(t_i\leq T\)的位置以方便更改。
时间复杂度：\(O(n\sqrt n\log n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int N=1e5+10,Q=230;
int n,m,w,a[N],t[N],ans[N];
int f[N][19],g[N][19],lg[N];
pair<int,int> q[N];
priority_queue<pair<int,int> >h;
struct LCT{
int t[N][2],siz[N],fa[N];
stack<int> s;bool r[N];
bool Nroot(int x)
{return fa[x]&&(t[fa[x]][0]==x||t[fa[x]][1]==x);}
bool Direct(int x)
{return (t[fa[x]][1]==x);}
void PushUp(int x)
{siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;return;}
void PushR(int x){swap(t[x][0],t[x][1]);r[x]^=1;return;}
void PushDown(int x){
if(r[x]){
PushR(t[x][0]);
PushR(t[x][1]);
r[x]=0;
}
return;
}
void Rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y];
int xs=Direct(x),ys=Direct(y);
int w=t[x][xs^1];
t[x][xs^1]=y;t[y][xs]=w;
if(Nroot(y))t[z][ys]=x;
if(w)fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
PushUp(y);PushUp(x);return;
}
void Splay(int x){
int y=x;s.push(y);
while(Nroot(y))y=fa[y],s.push(y);
while(!s.empty())PushDown(s.top()),s.pop();
while(Nroot(x)){
int y=fa[x];
if(!Nroot(y))Rotate(x);
else if(Direct(x)==Direct(y))
Rotate(y),Rotate(x);
else Rotate(x),Rotate(x);
}
return;
}
void Access(int x){
for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
Splay(x),t[x][1]=y,PushUp(x);
return;
}
void MakeRoot(int x)
{Access(x);Splay(x);PushR(x);return;}
void Link(int x,int y)
{Access(x);fa[x]=y;return;}
void Cut(int x,int y)
{Access(x);Splay(y);fa[x]=t[y][1]=0;PushUp(y);return;}
int FindRoot(int x){
Access(x);Splay(x);PushDown(x);
while(t[x][0])x=t[x][0],PushDown(x);
Splay(x);return x;
}
}T;
int MIX(int l,int r){
if(r>n)return 1e9+7;
int z=lg[r-l+1];
int x=max(g[l][z],g[r-(1<<z)+1][z]);
int y=min(f[l][z],f[r-(1<<z)+1][z]);
return x-y;
}
int nxts(int x,int w){
int l=x,r=n;
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
if(MIX(x,mid)<=w)l=mid+1;
else r=mid-1;
}
return l;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&w,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]),f[i][0]=g[i][0]=a[i];
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
g[i][j]=max(g[i][j-1],g[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
for(int i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int i=1;i<=n+1;i++)T.siz[i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
t[i]=1,T.Link(i,i+t[i]);
h.push(mp(-MIX(i,i+1),i));
}
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d",&q[i].first),q[i].second=i;
sort(q+1,q+1+m);reverse(q+1,q+1+m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=w-q[i].first;
while(!h.empty()&&-h.top().first<=x){
int p=h.top().second;h.pop();
T.Cut(p,p+t[p]);t[p]++;
if(t[p]<=Q){
T.Link(p,p+t[p]);
h.push(mp(-MIX(p,p+t[p]),p));
}
else t[p]=-1;
}
int now=1,sum=0;
while(now<n+1){
if(t[now]==-1)now=nxts(now,x),sum++;
else{
T.Access(now);T.Splay(now);
sum+=T.siz[now]-1;
now=T.FindRoot(now);
}
}
ans[q[i].second]=sum;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%d\n",ans[i]-1);
return 0;
}
