P8207-[THUPC2022 初赛]最小公倍树【Kruskal】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P8207
题目大意
有编号为\([L,R]\)区间的点,连接两个点\(x,y\)边权的为\(LCM(x,y)\),求这张图的最小生成树。
\(1\leq L\leq R\leq 10^6,R-L\leq 10^5\)
解题思路
我们有一个结论: 对于张图\(G\)中的一个生成子图\(E\),\(E\)之中的一条边\(k\)如果不在\(E\)最小生成树中,那么\(k\)肯定也不在\(G\)的最小生成树中。
那么我们考虑找一些可能是答案的边出来跑最小生成树。
对于一个\(i\)我们提取出所有它倍数的点,对于点\(ik\)来说它肯定不会去连接某个\(ik'\)如果存在另一个更小的\(ik''\)的话,因为这条边显然不在这张图的最小生成树中。
所以我们可以对于一个点\(x\)的每个约数\(d\),我们只连接一个最小的\(d\times k\),然后把这些边拿出来跑\(Kruskal\)就好了。
时间复杂度:\(O(n\log^2 n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
struct node{
ll x,y,w;
}e[11000000];
ll L,R,ans,m,fa[1100000];
bool cmp(node x,node y)
{return x.w<y.w;}
ll find(ll x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&L,&R);
for(ll i=1;i<=R;i++){
for(ll j=i;j<=R;j+=i){
if(j>=L){
ll p=(L+i-1)/i*i;
if(p==j)continue;
e[++m]=(node){j,p,j*p/i};
}
}
}
sort(e+1,e+1+m,cmp);
for(ll i=L;i<=R;i++)fa[i]=i;
for(ll i=1;i<=m;i++){
ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
if(x==y)continue;
ans+=e[i].w;fa[x]=y;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}