P6466-分散层叠算法(Fractional Cascading)【模板】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6466

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1|1题目大意

给出$k$个长度为$n$的有序序列，$q$次询问给出$x$，求所有序列中$x$的后继的异或和。

强制在线

$1\leq k\leq 100,1\leq n\leq 10^4,1\leq q\leq 5\times 10^5$

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1|2解题思路

一个很神奇的算法，考虑如果我们将一个序列的偶数位提取出来，我们得到在这些偶数位中$x$的后继的话，那么原来序列中的后继中的距离不会超过$1$。

所以我们可以得到一个算法，考虑原来的序列为$a_i$，开始取出$b_k=a_k$，然后对于$i$从$k-1$到$1$将$b_{i+1}$的偶数位提取出来和$a_i$合并成一个新的有序$b_i$。

那么求解时我们就可以只需要查询$b_{1}$中的后继了。

时间复杂度：$O(nk+q(k+\log n))$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int K=110,N=2e4+10;
int n,k,q,d,b[K][N],c[K][N];
int nxt[K][N],p[K][N],l[K];
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x)
{if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+48);return;}
int main()
{
	n=read();k=read();q=read();d=read();
	for(int i=1;i<=k;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			b[i][j]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)c[k][i]=b[k][i];
	l[k]=n;
	for(int i=k-1;i>=1;i--){
		int z=2;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			while(z<=l[i+1]&&c[i+1][z]<=b[i][j]){
				c[i][++l[i]]=c[i+1][z];
				p[i][l[i]]=z;
				nxt[i][l[i]]=b[i][j];
				z+=2;
			}
			c[i][++l[i]]=b[i][j];
		}
		while(z<=l[i+1]){
			c[i][++l[i]]=c[i+1][z];
			p[i][l[i]]=z;z+=2;
		}
		for(int j=l[i],last=l[i+1];j>=1;j--)
			if(p[i][j])last=p[i][j];
			else nxt[i][j]=-last;
	}
	int las=0;
	for(int z=1;z<=q;z++){
		int x,ans=0,i=1;x=read();x^=las;
		int pos=lower_bound(c[1]+1,c[1]+1+l[1],x)-c[1];
		ans^=p[i][pos]?nxt[i][pos]:c[i][pos];
		while(i<=k){
			pos=p[i][pos]?p[i][pos]:-nxt[i][pos];
			pos--;i++;
			while(pos<=l[i]&&c[i][pos]<x)pos++;
			ans^=p[i][pos]?nxt[i][pos]:c[i][pos];
		}
		las=ans;
		if(z%d==0)print(ans),putchar('\n');
	}
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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