CF573E-Bear and Bowling【dp,平衡树】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF573E

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1|1题目大意

给出一个长度为$n$的序列$a$，求它的一个子序列$b$，要求最大化

$$\sum_{i=1}^{|b|}b_i\times i$$

$1\leq n\leq 10^5,|a_i|\leq 10^7$

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1|2解题思路

首先我们考虑最暴力的$dp$，设$f_{i,j}$表示到现在到$a$的第$i$个，然后选择了$j$个时的最大答案，那么我们有

$$f_{i,j}=max\{f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}+b_i\times j\}$$

然后发现这个$dp$很难进行维护，我们尝试找下性质。
然后我没找到去看题解发现确实是性质题，对于一个$i$，如果$f_{i,j}$从$f_{i,j-1}$转移过来，那么$f_{i,j+1}$也一定是从$f_{i-1,j}$转移过来的。

证明的话可以看这篇大佬的博客：https://www.luogu.com.cn/blog/Mrsrz/solution-cf573e

所以我们可以用一个平衡树去维护每个$i$的$dp$值，然后我们就只需要二分出两个转移方式的中转点$k$，然后对于前面的我们不变，对于后面的我们在区间前插入一个$f_{i,k-1}$，然后就是一个区间加等差序列的操作，用懒标记维护即可。

时间复杂度：$O(n\log^2 n)$

如果在平衡树上二分能做到$O(n\log n)$

当然还有另一种做法，考虑一个一个插入答案，能够证明不停插入会使得当前贡献最大的数也是最优的。

那么我们就只需要用分块维护每一个数的新贡献就好了。

时间复杂度：$O(n\sqrt n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,cnt,rt,t[N][2],dat[N],siz[N];
ll w[N],lazy[N],lazy2[N],ans;
ll Newp(ll val){
	w[++cnt]=val;dat[cnt]=rand();
	siz[cnt]=1;return cnt;
}
ll Cpy(ll x)
{return Newp(w[x]);}
void Update(ll x,ll val,ll dr){
	w[x]+=val*(siz[t[x][0]]+dr);
	lazy[x]+=val*dr;lazy2[x]+=val;
}
void PushDown(ll x){
	if(lazy[x]){
		if(t[x][0])w[t[x][0]]+=lazy[x],lazy[t[x][0]]+=lazy[x];
		if(t[x][1])w[t[x][1]]+=lazy[x],lazy[t[x][1]]+=lazy[x];
		lazy[x]=0;
	}
	if(lazy2[x]){
		if(t[x][0])Update(t[x][0],lazy2[x],0);
		if(t[x][1])Update(t[x][1],lazy2[x],siz[t[x][0]]+1);
		lazy2[x]=0;
	}
	return;
}
void PushUp(ll x){siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;return;}
void Split(ll &x,ll &y,ll p,ll val){
	if(!p){x=y=0;return;}PushDown(p);
	if(siz[t[p][0]]<=val)x=p,Split(t[x][1],y,t[p][1],val-siz[t[p][0]]-1);
	else y=p,Split(x,t[y][0],t[p][0],val);
	PushUp(p);
}
ll Merge(ll x,ll y){
	if(!x||!y)return x|y;
	PushDown(x);PushDown(y);
	if(dat[x]<dat[y]){
		t[x][1]=Merge(t[x][1],y);
		PushUp(x);return x;
	}
	else{
		t[y][0]=Merge(x,t[y][0]);
		PushUp(y);return y;
	}
}
ll GetVal(ll &rt,ll pos){
	ll x,y,z;
	Split(x,z,rt,pos);
	Split(x,y,x,pos-1);
	ll ans=w[y];
	x=Merge(x,y);
	rt=Merge(x,z);
	return ans;
}
void GetAns(ll x){
	if(!x)return;PushDown(x);
	ans=max(ans,w[x]);
	GetAns(t[x][0]);GetAns(t[x][1]);
	return;
}
bool check(ll x,ll w){
	ll a=GetVal(rt,x);
	ll b=GetVal(rt,x-1);
	return a>b+x*w;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);rt=Newp(0);
	rt=Merge(rt,Newp(-1e18));
	for(ll i=1,k;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&k);
		ll l=1,r=i;
		while(l<=r){
			ll mid=(l+r)>>1;
			if(check(mid,k))l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		ll x,y,z,d;
		Split(x,z,rt,l-1);
		Split(z,d,z,n-1);
		Split(x,y,x,l-2);
		d=Cpy(y);
		z=Merge(d,z);
		Update(z,k,l);
		rt=x;rt=Merge(rt,y);
		rt=Merge(rt,z);
	}
	GetAns(rt);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}```

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/16004273.html
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