CF573E-Bear and Bowling【dp,平衡树】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF573E
题目大意
给出一个长度为\(n\)的序列\(a\)，求它的一个子序列\(b\)，要求最大化
\[\sum_{i=1}^{|b|}b_i\times i
\]
\(1\leq n\leq 10^5,|a_i|\leq 10^7\)
解题思路
首先我们考虑最暴力的\(dp\)，设\(f_{i,j}\)表示到现在到\(a\)的第\(i\)个，然后选择了\(j\)个时的最大答案，那么我们有
\[f_{i,j}=max\{f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}+b_i\times j\}
\]
然后发现这个\(dp\)很难进行维护，我们尝试找下性质。
然后我没找到去看题解发现确实是性质题，对于一个\(i\)，如果\(f_{i,j}\)从\(f_{i,j-1}\)转移过来，那么\(f_{i,j+1}\)也一定是从\(f_{i-1,j}\)转移过来的。
证明的话可以看这篇大佬的博客：https://www.luogu.com.cn/blog/Mrsrz/solution-cf573e
所以我们可以用一个平衡树去维护每个\(i\)的\(dp\)值，然后我们就只需要二分出两个转移方式的中转点\(k\)，然后对于前面的我们不变，对于后面的我们在区间前插入一个\(f_{i,k-1}\)，然后就是一个区间加等差序列的操作，用懒标记维护即可。
时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)
如果在平衡树上二分能做到\(O(n\log n)\)
当然还有另一种做法，考虑一个一个插入答案，能够证明不停插入会使得当前贡献最大的数也是最优的。
那么我们就只需要用分块维护每一个数的新贡献就好了。
时间复杂度：\(O(n\sqrt n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,cnt,rt,t[N][2],dat[N],siz[N];
ll w[N],lazy[N],lazy2[N],ans;
ll Newp(ll val){
w[++cnt]=val;dat[cnt]=rand();
siz[cnt]=1;return cnt;
}
ll Cpy(ll x)
{return Newp(w[x]);}
void Update(ll x,ll val,ll dr){
w[x]+=val*(siz[t[x][0]]+dr);
lazy[x]+=val*dr;lazy2[x]+=val;
}
void PushDown(ll x){
if(lazy[x]){
if(t[x][0])w[t[x][0]]+=lazy[x],lazy[t[x][0]]+=lazy[x];
if(t[x][1])w[t[x][1]]+=lazy[x],lazy[t[x][1]]+=lazy[x];
lazy[x]=0;
}
if(lazy2[x]){
if(t[x][0])Update(t[x][0],lazy2[x],0);
if(t[x][1])Update(t[x][1],lazy2[x],siz[t[x][0]]+1);
lazy2[x]=0;
}
return;
}
void PushUp(ll x){siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;return;}
void Split(ll &x,ll &y,ll p,ll val){
if(!p){x=y=0;return;}PushDown(p);
if(siz[t[p][0]]<=val)x=p,Split(t[x][1],y,t[p][1],val-siz[t[p][0]]-1);
else y=p,Split(x,t[y][0],t[p][0],val);
PushUp(p);
}
ll Merge(ll x,ll y){
if(!x||!y)return x|y;
PushDown(x);PushDown(y);
if(dat[x]<dat[y]){
t[x][1]=Merge(t[x][1],y);
PushUp(x);return x;
}
else{
t[y][0]=Merge(x,t[y][0]);
PushUp(y);return y;
}
}
ll GetVal(ll &rt,ll pos){
ll x,y,z;
Split(x,z,rt,pos);
Split(x,y,x,pos-1);
ll ans=w[y];
x=Merge(x,y);
rt=Merge(x,z);
return ans;
}
void GetAns(ll x){
if(!x)return;PushDown(x);
ans=max(ans,w[x]);
GetAns(t[x][0]);GetAns(t[x][1]);
return;
}
bool check(ll x,ll w){
ll a=GetVal(rt,x);
ll b=GetVal(rt,x-1);
return a>b+x*w;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);rt=Newp(0);
rt=Merge(rt,Newp(-1e18));
for(ll i=1,k;i<=n;i++){
scanf("%lld",&k);
ll l=1,r=i;
while(l<=r){
ll mid=(l+r)>>1;
if(check(mid,k))l=mid+1;
else r=mid-1;
}
ll x,y,z,d;
Split(x,z,rt,l-1);
Split(z,d,z,n-1);
Split(x,y,x,l-2);
d=Cpy(y);
z=Merge(d,z);
Update(z,k,l);
rt=x;rt=Merge(rt,y);
rt=Merge(rt,z);
}
GetAns(rt);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}```