AT2339-[AGC011C]Squared Graph【黑白染色】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2339

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题目大意

给出\(n\)个点\(m\)条边的一张无向图，然后有一张\(n\times n\)的图，每个点是一个二元组\((a,b)\)。\((a,b)\)和\((c,d)\)连边当且仅当\(a\)和\(c\)有连边，\(b\)和\(d\)有连边。

求新图的连通块数量

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 2\times 10^5\)

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解题思路

计数问题，我们考虑固定一个基准，以原图中的连通块为基准。

对于一个点\((x,y)\)，它能走到的点，发现如果\(x\)和\(y\)所在的连通块都可以黑白染色，那么\(x\)和\(y\)的黑白顺序是固定的，否则无论如何\(x\)整个都可以变为整个连通块或者\(y\)可以变为整个连通块。

然后这样一些会发现样例都过不了，因为有一种很特殊的点，就是没有任何边连接的点，这一部分的点我们需要特判。

记大小不是\(1\)的连通块数为\(A\)，其中能奇偶染色的为\(B\)，大小为\(1\)的连通块数为\(C\)，那么答案就是：

\[A\times A+B\times B+C\times n\times 2-C\times C \]

时间复杂度：\(O(n+m)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,m,tot,siz,A,B,C,ls[N],v[N];
bool flag;
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll c){
	if(v[x]==(c^1))flag=1;
	if(v[x]>=0)return;v[x]=c;siz++;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next)
		dfs(a[i].to,c^1);
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	memset(v,-1,sizeof(v));
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		if(v[i]<0){
			flag=siz=0;dfs(i,0);
			if(siz==1)C++;
			else A++,B+=!flag;
		}
	printf("%lld\n",1ll*A*A+1ll*B*B+2ll*C*n-C*C);
	return 0;
}