YbtOJ-选点构形【欧拉函数】

1|0正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/351/problem/1

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1|1题目大意

一个圆上，你需要在$3\sim n$中选出$k$个作为$a_i$，然后再圆上选择最少的点使得对于每个$a_i$你都能用选出的点连成一个正$a_i$边形。

$k+2\leq n\leq 10^6$

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1|2解题思路

首先我们固定一个$0$点因为肯定所有的正$a_i$边形都交于一个点。

然后考虑对于一个$a_i$，我们需要的点就是$\frac{1}{a_i}\times k(0\leq k<a_i)$。

注意到一个$a_i$如果存在一个$a_j=k\times a_i$那么$a_i$就不会产生贡献。反过来说$a_j$的贡献会减少$a_i$。

而我们肯定是优先选择$a_i$的，也就是说$a_j$选择当且仅当它的所有约数都被选择，而此时$a_j$产生的贡献恰好就是$\varphi(a_j)$（因为所有$a_j$约数产生的贡献和为$a_j$，我们可以视为它们的贡献都单独为$\varphi(x)$）

那么我们可以把$3\sim n$按照$\varphi$排序从小到大加就好了。

至于$1,2$，特判一下比较小的情况就可以了，$k$比较大时显然$1,2$会被选上去，需要多选$2$个。

时间复杂度：$O(n\log n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,k,cnt,phi[N],pri[N/10];
bool v[N];
int main()
{
	freopen("point.in","r",stdin); 
	freopen("point.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	if(k==1)return puts("3")&0;
	if(k==2)return puts("6")&0;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!v[i])phi[i]=i-1,pri[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
		}
	}
	sort(phi+1,phi+1+n);
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=k+2;i++)ans+=phi[i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15916119.html
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