AT4439-[AGC028E]High Elements【结论,线段树】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4439

---

题目大意

给出\(1\sim n\)的排列\(a\)。求一个字典序最小的\(01\)串\(s\)满足将\(0\)对应位置按顺序取出成为序列\(A\)，剩下的成为序列\(B\)。

要求\(A\)和\(B\)的前缀最大值个数相同。

\(1\leq n\leq 2\times 10^5\)

---

解题思路

首先对于前缀最大值来说，在排列\(a\)中的前缀最大值肯定在\(A/B\)中也是前缀最大值。

而假设我们序列\(A\)和\(B\)中都存在一个前缀最大值是在\(a\)中没有出现过的，那么显然这两个值前面比它大的值都在另一个序列中，所以我们交换这两个值时\(A/B\)的前缀最大值个数都减少了\(1\)。

所以如果存在一组解\(A/B\)中存在一个序列的所有前缀最大值都是\(a\)中原来的最大值。

那么接着考虑，假设我们做到一个状态：\(A/B\)中目前最大值个数为\(n_a/n_b\)，后面还有\(c\)个原来\(a\)序列中的最大值，\(B\)需要用\(k\)个，剩下\(p\)个都是新的最大值，那么如果有解就有等式

\[n_a+c-k=n_b+k+p\Rightarrow n_a-n_b+c=2k+p \]

而左边的式子是定值，所以我们只需要考虑右边式子的取值范围。

然后对于序列\(B\)，目前最后一个数是\(m_b\)，设旧最大值数权为\(2\)，其他数的权值\(1\)。我们就需要考虑后面是否存在一个\(m_b\)开始的上升序列的权值和为\(n_a-n_b+c\)。

而因为权值只有\(1\)和\(2\)，所以我们用数据结构维护一下奇偶的最大答案即可。

由于他要求字典序最小，我们无法确定\(A\)是全是旧的最大值还是\(B\)全是旧的最大值，所以我们两种情况都需要判断。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,s,a[N],od[N],ans[N],f[N][2]; 
struct SegTree{
	int w[N<<2];
	void Change(int x,int L,int R,int pos,int val){
		if(L==R){w[x]=val;return;}
		int mid=(L+R)>>1;
		if(pos<=mid)Change(x*2,L,mid,pos,val);
		else Change(x*2+1,mid+1,R,pos,val);
		w[x]=max(w[x*2],w[x*2+1]);
	}
	int Ask(int x,int L,int R,int l,int r){
		l=max(l,L);r=min(r,R);
		if(l>r)return w[0];
		if(L==l&&R==r)return w[x];
		int mid=(L+R)>>1;
		if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r);
		if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r);
		return max(Ask(x*2,L,mid,l,mid),Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r));
	}
}T[2];
bool check(int p,int x){
	if(x<0)return 0;
	return T[x&1].Ask(1,1,n,p,n)>=x;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int maxs=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		if(a[i]>maxs)od[i]=1,s++,maxs=a[i]; 
	}
	memset(T[1].w,0xcf,sizeof(T[1].w));
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int p=!od[i];
		for(int j=0;j<2;j++){
			f[i][j]=T[j^p].Ask(1,1,n,a[i]+1,n)+1+od[i];
			T[j].Change(1,1,n,a[i],f[i][j]);
		}
	}
	int A=0,B=0,ma=0,mb=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s-=od[i];
		T[0].Change(1,1,n,a[i],T[0].w[0]);
		T[1].Change(1,1,n,a[i],T[1].w[0]);
		if(check(max(ma,a[i]),B+s-A-(a[i]>ma))
		||check(mb,A+s-B+(a[i]>ma)))
			ans[i]=0,A+=(a[i]>ma),ma=max(ma,a[i]);
		else ans[i]=1,B+=(a[i]>mb),mb=max(mb,a[i]);
	}
	if(A!=B)return puts("-1")&0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		putchar(ans[i]+'0');
	return 0;
}