CF802C-Heidi and Library(hard)【费用流】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF802C

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题目大意

你有一个可以放 \(k\) 本书的书架，第 \(i\) 天要求书架上有第 \(a_i\) 种书，购买第 \(i\) 种书的价格为 \(c_i\) 。

求满足 \(n\) 天要求的最小花费。

\(1\leq n,k\leq 80,1\leq c_i\leq 10^6\)

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解题思路

我们注意到每一天的限制是不能超过 \(k\) 本书延续到下一天。而书的保留我们可以考虑视为将一本书从这一天延续到下一次需要这本书的时候免费拿一本新的。

好那么现在相当于我们可以通过霸占一些区间来减少花费，但是一个格子最多被区间包含 \(k\) 次。

这和[NOI2008] 志愿者招募很像，考虑使用费用流来做本题。

首先我们要固定总流量为 \(n\) ，然后考虑怎么建图。这里将一个点拆为三部分记为 \(p(x,1/2/3)\)

1. 获取点，用来流过今天需要的书。
2. 储存点，表示流过的这本书已经使用完了。
3. 商店点，流过多余的流量，购买书时从这个点流过。

然后要实现以下功能

• 要求满足每天的条件：我们让 \(p(x,1)\rightarrow p(x,2)\) ，流量为 \(1\) ，费用为 \(-\infty\) ,表示每天的条件必须满足。
• 延续这本书到下一个同样需求的点\(y\)：\(p(x,2)\rightarrow p(y,1)\)，流量为 \(1\) ，费用为 \(0\) ，表示这本书用完之后可以留给后面的用。
• 购买一本书： \(p(x,3)\rightarrow p(x,1)\) ，流量为 \(1\) ，费用为 \(c_{a_x}\) 。
• 丢弃一本书： \(p(x,2)\rightarrow p(x+1,3)\) ，流量为 \(1\) ，费用为 \(0\) 。因为这本书今天已经借出了所以需要占用空间，明天才能丢掉。
• 限制存有书的数量不超过 \(k\) ：考虑到我们相当于总共有 \(n\) 点流量，在 \(1/2\) 类点之间的流量都相当于目前存在书柜里的，所以商店的书至少需要为 \(n-k\) 本。那么我们让 \(p(x,3)\rightarrow p(x+1,3)\) 流量为 \(n-k\) ，费用为 \(-\infty\) ，这样这些流量就必须流过了，然后再建立一条 \(p(x,3)\rightarrow p(x+1,3)\) 流量为 \(\infty\) ，费用为 \(0\) 的给多余的流过就好了。

费用为 \(-\infty\) 的我们设为一个很大的值，最后将答案把这些值加回去就好了。

就可以通过本题了

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e4+10,inf=1e9;
struct node{
	ll to,next,w,c;
}a[N<<1];
ll n,k,tot,ans,op[N],c[N],las[N];
ll s,t,ls[N],f[N],pre[N],mf[N];
bool v[N];queue<ll> q;
void addl(ll x,ll y,ll w,ll c){
	a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;a[tot].c=c;
	a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=0;a[tot].c=-c;
	return;
}
bool SPFA(){
	memset(f,0x3f,sizeof(f));pre[t]=0;
	f[s]=0;q.push(s);v[s]=1;mf[s]=inf;
	while(!q.empty()){
		ll x=q.front();q.pop();v[x]=0;
		for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
			ll y=a[i].to;
			if(a[i].w&&f[x]+a[i].c<f[y]){
				f[y]=f[x]+a[i].c;pre[y]=i;
				mf[y]=min(mf[x],a[i].w);
				if(!v[y])v[y]=1,q.push(y);
			}
		}
	}
	return pre[t];
}
ll update(){
	ll x=t;
	while(x!=s){
		a[pre[x]].w-=mf[t];
		a[pre[x]^1].w+=mf[t];
		x=a[pre[x]^1].to;
	}
	return mf[t]*f[t];
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);tot=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&op[i]);
	for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&c[i]);
	ll w=0;s=3*n+2;t=s+1;
	addl(s,2*n+1,n,0);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		if(las[op[i]])
			addl(las[op[i]]+n,i,1,0);
		else w=min(w+1,k);
		addl(i+2*n,i,1,c[op[i]]);
		addl(i,i+n,1,-inf);ans+=inf;
		addl(i+n,i+2*n+1,1,0);
		las[op[i]]=i;
		if(n>w){
			addl(i+2*n,i+2*n+1,n-w,-inf);
			ans+=(n-w)*inf;
		}
		addl(i+2*n,i+2*n+1,inf,0);
	}
	addl(3*n+1,t,n,0);
	int k=0;
	while(SPFA())ans+=update();
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}