P6944-[ICPC2018 WF]Gem Island【数学期望,dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6944

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题目大意

有\(n\)颗不同颜色的宝石，每次随机选择一颗复制，重复\(d\)次，求最后宝石数前\(r\)的颜色的宝石数之和的期望值。

\(1\leq r\leq n,d\leq 300\)

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解题思路

考虑一种最终状态\(S\)的概率，设第\(i\)种宝石个数为\(a_i+1\)，那么我们考虑在若干次分裂中分裂到这几个的概率，这里先考虑分子作为权重（因为分母一样）。
首先分裂天数分配到每一种宝石的方案就是可重排列的公式：\(\frac{d!}{\prod_{i=1}^na_i!}\)
然后对于第\(i\)次分裂一种宝石时，有\(i\)的概率，所以这一部分的方案就是\(\prod_{i=1}^na_i!\)
那么总共的权重

\[\frac{d!}{\prod_{i=1}^na_i!}\times \prod_{i=1}^na_i!=d! \]

所以所有方案的概率都是相等的。

之后考虑怎么求所有方案的，我们可以考虑\(dp\)。

\(dp\)求前\(r\)大的和话我们有个很常见的技巧，就是我们可以每次让一个前缀\(+1\)，然后不断缩短前缀，这样我们还可以在缩短前缀的过程中顺便统计重排的方案。

设\(f_{i,j}\)表示目前分裂了\(i\)次，前缀长度为\(j\)时的方案数，\(g\)则表示所有方案的答案，然后转移即可。

时间复杂度：\(O(n^3)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
int n,d,r;
double C[N][N],f[N][N],g[N][N];
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&d,&r);
	C[0][0]=f[0][n]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			C[i][j]=C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0);
	for(int i=0;i<d;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=1;k<=j;k++){
				if(i+k>d)break;
				f[i+k][k]+=f[i][j]*C[j][k];
				g[i+k][k]+=(g[i][j]+min(r,k)*f[i][j])*C[j][k];
			}
	double F=0,G=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		F+=f[d][i],G+=g[d][i];
	printf("%.12lf\n",G/F+r);
	return 0;
}